现代控制系统第十二版课后习题7章根轨迹法答案中文版.docx

第7章 根轨迹法 基础练习题 E7.1在图E7.1所示的圆环装置中，球体沿环的内壁自由滚动，圆环沿着水平方向自由旋转。该装置可以用来模拟液体燃料在火箭中的晃动。作用于环上的转矩控制着圆环的角位移，而转矩则由连接在圆环的驱动杆上的电机产生。当引入负反馈后，系统的特征方程为 绘制以为参数的根轨迹。 当闭环特征根相等时，求出系统增益的取值。 求出彼此相等的这两个特征根。 当闭环特征根相等时，计算系统的调节时间。 图E7.1 由电机驱动旋转的圆环 【解析】（a）特征方程为，根轨迹如下 （b）系统特征方程可以写为，解得 ，当时，解得。 （c）当时，根为。 （d）当时，特征方程为，因此，，系统处于临界阻尼状态。调节时间为s。 E7.2考虑某磁带录音机的速度控制系统，其负反馈回路的传递函数为，前向传递函数为 绘制以为参数的根轨迹，并验证，当时，主导极点为。 根据（a）给出的主导极点，估算系统阶跃响应的调节时间和超调量。 【解析】（a）根轨迹如图所示。当时，特征方程的根为，。主动极点的实部比其他两个根小8倍。 （b）主导根为，则，。调节时间为s。超调量为。 E7.3假设汽车悬挂检测装置的控制系统具有单位负反馈，且受控对象为当系统主导极点的阻尼比为时，试利用根轨迹验证，此时有，且对应的主导极点为。 【解析】根轨迹如图所示。当，时根为，。 E7.4考虑某个单位负反馈系统，其开环传递函数为 求根轨迹离开复极点的出射角。 求根轨迹进入实轴的汇合点。 【解析】根轨迹如图所示。 出射角和汇合点为，。 E7.5考虑某单位负反馈系统，其开环传递函数为 求实轴上的根轨迹分离点。 确定渐近中心。 计算分离点处增益的取值。 【解析】（a）根轨迹如图所示，分离点为，。 （b）渐进中心为，。 （c）分离点处增益，。 E7.6某空间站如图E7.6所示。为了能够充分利用太阳能和保持对地通信，保持空间站对太阳和地球的正确指向非常重要。可以采用带有执行机构和控制器的单位负反馈系统来描述空间站的定向控制系统，其开环传递函数为当从0变为时，试绘制系统的根轨迹，并求出导致系统失稳的值。 图E7.6 空间站 【解析】当时系统不稳定。 E7.7在现代化的办公大楼内，电梯在以25ft/s的速度高速运行的同时，仍能以ft的精度停靠在指定的楼层。可以用单位负反馈系统来描述电梯位置控制系统，其开环传递函数为当复根的阻尼比为时，试确定增益的取值。 【解析】根轨迹如图所示。 特征方程有4个极点和1个零点。渐近线角为，中心为。当时。 E7.8单位负反馈系统的开环传递函数为 当三个特征根均为实数且彼此相等时，求增益的取值。 求出（a）中的三个彼此相等的闭环特征根。 【解析】特征方程为，即。当三个特征根均为实数且相等时，需，使两式相等解得，特征根为。根轨迹如图所示。 E7.9世界上最大的望远镜坐落在夏威夷，其主镜由36片六角形的镜片镶嵌而成，直径高达10m。望远镜能够对每个镜片的方位进行主动控制。假设单个镜片的控制由单位负反馈系统实现，且开环传递函数为 在平面上绘制闭环系统根轨迹的渐近线。 求离开复极点的出射角。 确定增益的取值，使系统有两个特征根位于虚轴之上。 绘制系统的根轨迹。 【解析】特征方程为即。 （a）系统有三个极点。渐近线的数量为，以为中心，角度为。 （b）出射角为，。 （c）劳斯判据表为，其中。所以当时根位于虚轴上。辅助方程为即。 （d）根轨迹如图所示。 E7.10某单位负反馈系统的开环传递函数为 求实轴上的分离点和汇合点。 当复特征根的实部为时，求出系统的增益和特征根。 绘制系统的根轨迹。 【解析】（a）特征方程为，因此，。 由解得。因此系统的分离点和汇合点为，。 （b）期望的特征多项式为，实际的特征多项式为，使两式相等解得，。因此，当时根为。 （c）根轨迹如下图所示。 E7.11某机器人的力控制系统为单位负反馈系统，其开环传递函数为 绘制系统的根轨迹，当主导极点的阻尼比为0.707时，求出增益的取值。 利用（a）得到的增益，估算系统的超调量和峰值时间。 【解析】特征方程为，根轨迹如图所示。从图中可以看出当时。 E7.12某单位负反馈系统的开环传递函数为 当从0到变化时，绘制系统的根轨迹。 当和时，求出系统的闭环特征根。 当输入为单位阶跃信号，和时，分别计算系统响应从零到稳态值的上升时间、超调量和按2%准则的调节时间。 【解析】（a）特征方程为，根轨迹如图所示。 （b）特征方程的根为：（1）当时，；当时，。 （c）单位阶跃响应的特性如下： E7.13某单位负反馈系统的开环传递函数为 当从0变到100时，绘制闭环系统的根轨迹。 当输入为阶跃信号，和时，试利用系统的根轨迹，分别估算系统的超调量和按2%准则的调节时间。 当和时，分别计算系统实际的超调量和调节时间。 【解析】（a）特征方程为，即