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2020-2021学年第二学期2020级本科期末考试
姓名: 学号: 学员队:《高等数学》课程B卷答案
姓名: 学号: 学员队:
选择题(每题4分,共20分)
1. 级数的敛散性为( A )
(A) 当时,级数收敛,当时,级数发散;
(B) 当时,级数收敛,当时,级数发散;
(C) 当时,级数收敛,当时,级数发散;
(D) 当时,级数收敛,当时,级数发散.
2. 设曲线为,质量线密度分布为,则的质量为( C )
(A) (B) (C) (D)
解:曲线:,参数,弧长微元
故所求质量为
3. 设,为可导函数,则( A )
(A) (B) (C) (D)
解:,,
故.
4.设 ,则( B )
(A) (B)
(C) (D)
5. 设,,其中,,
则在上,( D )
(A) (B)
(C) (D)
填空题(每空4分,共20分)
1. 设幂级数在时条件收敛,则其收敛半径为 3 .
2. 设向量,则向量与的夹角为 , .
解:
3. 交换积分次序 .
解:
4. 函数在点处沿着方向的方向导数
为 3 .
解:
单位向量
方向导数
5. 设Σ为平面在第一卦限的部分,则 .
解:积分曲面,
面积微元
计算题(每小题6分,共18分)
1.(本题6分)求.
解法一: 3分
6分
解法二:令,则 2分
4分
6分
2.(本题6分)设函数是由方程所确定的隐函数,求.
解法一:公式法
即 4分
故 6分
解法二:微分法,方程两边求微分 3分
即 4分
故 6分
3.(本题6分)计算,其中积分区域为圆域.
解一:由对称性, 1分
在极坐标系下 , 2分
所以 3分
5分
6分
或 .
解二:由对称性知 ,
, 2分
其中是的上半部分,即在极坐标系下 ,
所以 3分
4分
5分
. 6分
四、(本题7分)求通过直线且与平面垂直的平面方程.
解 直线L变形为,则过已知点
方向向量 2分
已知平面的法向量为 3分
依题意取所求平面法向量 5分
所求平面方程为,
即. 7分
五、证明题(本题9分)
证明函数在点处连续且偏导数存在但不可微.
证明 (1) 由于,即为有界量,则
所以函数在点处连续. 3分
(2)
所以函数在点处偏导数存在. 6分
(3)不存在,
因为沿直线
所以函数在点处不可微. 9分
六、(本题9分)求的收敛域及和函数,并求数项级数的和.
解: , 3分
当时,级数发散,当时,级数发散,
容易验证幂级数的收敛域为 4分
设
, 6分
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