江苏省2019高考数学总复习优编增分练高考解答题分项练(八)数列(B).doc

(八)数列(B) 1．(2018·江苏金陵中学期末 n n 1 * ，都 )设数列{a}的前n项的和为 S，且知足 a＝2，对 ?n∈N 有a ＝(p－1)S＋2(此中常数p1)，数列{b}知足b 1 n n＋1 n n n 212 n 求证：数列{an}是等比数列； 2 (2) 若p＝22017 ，求b2018的值； 2 3 (3) 若? k∈N*，使得p＝22k1，记cn＝bn－ ，求数列{cn}的前2( k＋1)项的和． 2 (1) 证明 由于 * ，都有a ＝(p－1)S＋2， n n＋1 n an＋2＝(p－1)Sn＋1＋2， 所以两式相减得an＋2－an＋1＝(p－1)an＋1， 即an＋2＝pan＋1， 当n＝1时，a2＝(p－1)a1＋2＝pa1，所以an＋1＝pan(n∈N*)， 又a1＝2，p1， 所以{a}是以2为首项，p为公比的等比数列． n (2)解 由(1)得an＝2pn－1. 1 1 2np n(n1) bn＝log2(a1a2an)＝log2 2 n n 1n＋nn－1 n2017 所以b2018＝2. (3) 解 由(1) 得an＝2 pn－1 . 1 1 2np n(n1) log2(a1a2an)＝ log2 2 bn＝ n n 1 n(n1) n－1 ＝ log22n 22k1 ＝1＋2＋1. n k 2n－2k－3 由于bn－2＝22k＋1， 3 所以当1≤n≤k＋1时，cn＝2－bn， 3 当n≥k＋2时，cn＝bn－2. 所以数列{cn}的前2(k＋1)项的和T2k＋2 ＝－(b1＋b2＋＋bk＋1)＋(bk＋2＋bk＋3＋＋b2k＋2) ＝－ 0＋1＋＋k＋k ＋1＋k＋2 ＋＋2 k＋1 2k＋1 2k＋1 kk＋1 k＋1k＋2k＋2 2 2 2 k＋1 ＝－2k＋1＋ 2k＋1 ＝ 2k＋1. n n 1 2 nn n＋1 n n n＋1 * 2．已知数列{a}的前n项和为S，且a＝1，a ＝2，设b＝a＋a ，c ＝a ·a (n∈N)． (1) 若数列{b }是公比为3 的等比数列，求 S； 2n－1 2n (2) 若数列{n}是公差为 3的等差数列，求 n； b S (3) 能否存在这样的数列 {an}，使得{bn}成等差数列和{cn}成等比数列同时建立，若存在，求 出{an}的通项公式；若不存在，请说明原因．解(1)b1＝a1＋a2＝1＋2＝3， S2n＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋＋(a2n－1＋a2n) ＝b1＋b3＋＋b2n－1＝ 31－3n 3n＋1－3 1－3＝ 2 . ∵bn＋1－bn＝an＋2－an＝3， ∴{a2k－1}，{a2k}均是公差为3的等差数列， a2k－1＝a1＋(k－1)·3＝3k－2， a2k＝a2＋(k－1)·3＝3k－1， 当n＝2k(k∈N*)时， Sn＝S2k＝(a1＋a3＋＋a2k－1)＋(a2＋a4＋＋a2k) 1＋3k－2k2＋3k－1 ＝＋ 22 2 3n2 3k＝4； 当n＝2k－1(k∈N*)时， Sn＝S2k－1＝S2k－a2k＝3k2－3k＋1 n＋12 n＋1 3n2＋1 ＝3× 2 －3·2＋1＝ 4 . 3n2 综上可知，Sn＝ 4，n＝2k，k∈N*， 3n2＋1 * 4 ，n＝2k－1，k∈N. ∵{bn}成等差数列，∴2b2＝b1＋b3，即2(a2＋a3)＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)， a2＋a3＝a1＋a4，① 2 ∵{cn}成等比数列，∴c2＝c1c3. 即(a2a3)2＝(a1a2)·(a3a4)， c2＝a2a3≠0，∴a2a3＝a1a4，② 由①②及a1＝1，a2＝2，得a3＝1，a4＝2， 设{bn}的公差为d， 则bn＋1－bn＝(an＋1＋an＋2)－(an＋an＋1)＝d， 即an＋2－an＝d， 即数列{an}的奇数项和偶数项都组成公差为 d的等差数列， 又d＝a3－a1＝a4－a2＝0， ∴数列{a}＝1,2,1,2,1,2 ，， n 1，n＝2k－1，k∈N*， 即an＝2，＝2 k ， ∈N*. n k 此时cn＝2，{cn}是公比为1的等比数列，知足题意． 1，n＝2k－1，k∈N*， ∴存在数列{an}，an＝2，n＝2k，k∈N*， 使得{bn}成等差数列和{cn}成等比数列同时建立． nn n 11 22 nn nn * ， 3．已知{a}，{b }，{c}都是各项不为零的数列，且知足 ab ＋ab＋＋ab ＝cS，n∈N 此中Sn是数列{an}的前n项和，{cn}是公差为d(d≠0)的等差数列． 若数列{an}是常数列，d＝2，c2＝3，求数列{bn}的通项公式； 若an＝λn(λ是不为零的常数)，求证：数列{bn}是等差数列； 若a1＝c1＝d＝k(k