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2019-2020学年第二学期 《高等数学》（II）期终考试试卷B卷 参考答案及评分标准 选择题（每小题3分，共15分） 1.设在点连续，且，则在点处（ ）. （A）不存在偏导数； （B）偏导数存在，但不可微； （C）可微且； （D）可微且. 答案：C. 解析：，由在点连续， 所以； ，同理， 且. 所以函数在点处可微. 2.函数在点处沿向量的方向导数为（ ）. （A）； （B）； （C）； （D）. 答案：C. 解析：，， 于是. 3.设，则下列命题正确的是（ ）. （A）若条件收敛，则与都发散； （B）若绝对收敛，则与都收敛； （C）若条件收敛，则收敛，发散； （D）若绝对收敛，则发散，收敛. 答案：B. 解析：若条件收敛，则发散，根据级数性质，必发散，但未必发散，反例条件收敛，而收敛；即A与C错误. 若绝对收敛，则收敛，根据级数性质，必收敛， 由级数收敛必要性可知，，即，而为有界量，利用无穷小性质， 根据正项级数比较审敛法的极限形式，，而收敛， 故收敛. 即B正确，D错误. 4.直线与平面的位置关系是（ ）. （A）平行； （B）垂直； （C）夹角为； （D）夹角为. 答案：A. 解析：化直线方程为标准型：.则直线的方向向量，平面的法向量，有，故直线平行于平面. 5.设为球面，则曲面积分（ ）. （A）；（B）；（C）；（D）. 答案：B. 解析：由轮换对称性得，. 所以. 填空题（每小题3分，共15分） 1.已知是某二元函数的全微分，则常数 . 答案：2. 解析：设，由题意则，故. 2.设则 ， . 答案：1，8.（只答对一个给2分） 解析：，则，，， 则. 3.设曲线为球面与平面的交线，则曲线积分 . 答案：. 解析：由轮换对称性，，，， 故. 4.设为连续函数，则二重积分在直角坐标系下先后的二次积分表达式为 . 答案：. 5.设，是的以为周期的傅里叶余弦级数的和函数，则 , . 答案：.（只答对一个给2分） 解析：， . 三、（7分）设是由方程所确定的隐函数，求. 解一：（求导法）方程两边分别对求导， ，则-----------3分 ，则-----------6分 故. -----------7分 解二：（微分法）方程两边同时求微分， ------------3分 ，-----------6分 ，.------------7分 （也可用公式法求解） 四、（7分）设函数，其中具有二阶连续偏导数，求. 解：，------------3分 ------------6分 -----------7分（少一项扣一分） 五、（8分）在椭圆锥面上求一点使点到原点的距离最短，并求其最短距离. 解一：设点到原点的距离为，由于与有相同的最小值点， 则目标函数，----------2分 设辅助函数，则 ----------5分 由方程（3）得，代入方程（1）、（2）、（4）解得----------7分 由于驻点唯一，因此为所求，且最短距离. ------8分 解二：设点到原点的距离为，由于与有相同的最小值点， 则目标函数-----2分 由于点在椭圆锥面上，所以，代入目标函数化为无条件极值， 因此 令，---------5分 解得唯一驻点，代入椭圆锥面方程解得，---------7分 因此为所求，且最短距离.---------8分 七、（9分）计算第二型曲线积分，其中由上从点到点和上从点到点两段构成. 解：设，则，---------2分 由于不封闭，补充直线段，则封闭，取顺时针方向，围成区域，由格林公式， ---------4分 ---------7分 ---------8分 ---------9分 八、（9分）计算曲面积分，其中曲面为的上侧. 解：设，则，---------2分 由于不封闭，补充曲面，取下侧，使封闭取外侧，围成区域，由高斯公式，---------4分 ---------6分 ---------7分 ---------8分 ---------9分 九、（10分）已知幂级数，试求： （1）收敛域；（2）和函数；（3）数项级数的和. 解：（1）此幂级数缺少偶数项，固定，由比值审敛法求收敛半径： 当时，即级数收敛；当时，即级数发散，所以收敛半径. 当时，级数条件收敛，因此级数的收敛域为.---------3分 （2）设，. 则, 积分得.---------8分 （3）.---------10分 十、（1