专题06 线段最值问题（1）—将军饮马问题-备战中考数学二轮专题归纳提升(原卷版）.docx

专题05 线段最值问题（1）——将军饮马问题 【问题引入】 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 【模型概述】 求“PA+PB”最值问题，其中P的运动轨迹是一条直线. 【解题思路】 关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段． 【题型一——将军饮马问题】 常见的题型有： 问题1. 如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能 使得路程最短？ A A B l 作法：如图．作点A关于直线l的对称点A’，连结AB，与直线，的交点就是点P B B A P l A 【典型例题】 【例1】如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PA+PB的最小值为　　． 【练1】如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF的度数为多少？ 【练2】如图，四边形ABCD中，DA⊥AB，CB⊥AB，AD＝3，AB＝5，BC＝2，P是边AB上的动点，则PC+PD的最小值是　　． 【练3】如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且，则PC＋PD的最小值为 . 【题型二——将军造桥问题】 问题1.已知：将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？(将军过桥) 作法：考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置． 问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置． 问题2.已知：A、B两点，MN长度为定值，求确定M、N位置使得AM+MN+NB值最小？(将军遛马） 作法：考虑MN为定值，故只要AM+BN值最小即可．将AM平移使M、N重合，AM=A’N，将AM+BN转化为A’N+NB． 构造点A关于MN的对称点A’’，连接A’’B，可依次确定N、M位置，可得路线． 【典型例题】 【例2】如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=______． 【练1】（1）如图1，在A和B两地之间有一条河，现要在这条河上建一座桥CD，桥建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直） （2）如图2，在A和B两地之间有两条河，现要在这两条河上各建一座桥，分别是MN和PQ， 桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直） 【练2】如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，且PQ＝3，当CQ＝ 　时，四边形APQE的周长最小． 【练3】如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB＝9，AD＝18，M，N是直线BC上的动点，且MN＝3，则OM+ON最小值＝　　． 【题型三——遛马饮水问题】 问题1.如图，将军在图中的点P处，已知将军需要先带马儿去OM的河边喝水，再去ON的草坪吃草，求最短路径。即：已知：在MON内有一点P，在边ON，OM上分别找点Q，R，使得PQ＋QR＋RP最小． ON O N M P 作法：如图，分别作点P关于射线OM的对称点P，P，连结PP，与射线ON，PPPONMR P P P O N M R Q ONMP问题2.已知：在MON内有一点P，在边OM，ON上分别找点R，Q．使得PR＋ O N M P 作法：如图，作点P关于射线OM的对称点P，作PQ ON，垂足为Q，PQ与射线ON的交点就是R． P P P Q O N M R 问题3.已知：在MON内有两点P，Q，在边OM，ON上分别找点R，S．使得PR＋RS＋SQ最小． PO P O N M Q 作法：如图，作点P关于射线OM的对称点P，作点Q关于射线ON的对称点Q，连结PQ．与射线OM，ON的交点就是R，S． P P P Q O N M Q S R 【典型例题】 【例3】如图，在锐角三角形ABC中，BC＝42，∠ABC＝45o，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、