2024届一轮复习人教A版 第6章立体几何第7节立体几何中的向量方法__求空间角与距离 课件（93张）.pptx

第七节　立体几何中的向量方法——求空间角与距离第六章　立体几何 考试要求：1．能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题．2．了解向量方法在研究立体几何问题中的应用． 必备知识·回顾教材重“四基”01 一、教材概念·结论·性质重现1．两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则?l1与l2所成的角θa与b的夹角β范围_______________求法cos θ＝________?(0，π)? 求两异面直线l1，l2的夹角θ，须求出它们的方向向量a，b的夹角〈a，b〉，由于夹角范围不同，有cos θ＝|cos〈a，b〉|. ?求直线l与平面α所成的角θ，可先求出平面α的法向量n与直线l的方向向量a的夹角，则sin θ＝|cos〈n，a〉|. 3．二面角的平面角求法(1)如图(1)，AB，CD分别是二面角α-l-β的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝_______________.?(2)如图(2)(3)，n1，n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α，β的法向量，则二面角θ的大小满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角的大小是___________________________．向量n1与n2的夹角(或其补角) 利用平面的法向量求二面角的大小时，求出两平面α，β的法向量n1，n2后，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补．一进一出相等，同进同出互补． 4．利用空间向量求距离(1)点到直线的距离如图所示，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，则点P到直线l的距离PQ＝_____________________．? (2)点到平面的距离如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离为BO＝_________．? 求点到平面的距离，若用向量知识，则离不开以该点为端点的平面的斜线段．有时利用等积法求解可能更方便． ?34512×××√ ?34512 3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为(　　)34512? A　解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系．34512? ?34512(1)直线PB与平面POC所成角的余弦值为________； 34512? 34512? ?(2)点B到平面PCD的距离为________．?34512 5．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP的夹角为________．45°　解析：如图，建立空间直角坐标系，设AB＝PA＝1，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)．?34512 关键能力·研析考点强“四翼”考点1　异面直线所成的角——基础性02考点2　 直线与平面所成的角——综合性考点3　求二面角——应用性考点4　求空间距离问题——综合性 1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是BB1，D1B1的中点，则EF与A1D所成角的大小为(　　)A．60° B．90° C．45° D．75°考点1　异面直线所成的角——基础性 B　解析：如图所示，以D为坐标原点，以DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系．? 2．如图，在四棱锥A-BCDE中，DE∥CB，BE⊥平面ABC，BE＝3，AB＝CB＝AC＝2DE＝2，则异面直线DC与AE所成角的余弦值为(　　)? A　解析：如图所示，取BC的中点F，连接AF，DF，可得DF∥BE.因为BE⊥平面ABC，所以DF⊥平面ABC．又由AB＝CB＝AC且F为BC的中点，所以AF⊥BC，故以F为坐标原点，以FA，FB，FD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．? ?? 利用向量法求异面直线所成角的问题，关键是建立空间直角坐标系写出相关点的坐标，并进一步求出相关的向量，利用向量的夹角公式求解．在求解过程中易出现因忽视异面直线所成角的范围而致错的情况. ?考点2　 直线与平面所成的角——综合性证明：因为PD⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，所以PD⊥BD，取AB中点E，连接DE，因为AD＝DC＝CB＝1，AB＝2， ? ?解：由(1)知，PD，AD，BD两两互相垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系， ? 利用向量求线面角的2种方法(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的