第二节 算术平均数与几何平均数.pptVIP

算术平均数与几何平均数（1） 引入新课例题：某工厂要建造一个长方形无盖蓄水池，其容积为4800m3, 深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少？跳跃 重要不等式及其应用一、重要不等式的推导课题ii〉重要不等式1 如果a、b∈R,那么 a2＋b2≥2ab (当且仅当a＝b时取“＝”号) 以公式(1)为基础,运用不等式的性质推导公式(2)这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法。i〉如果a、b∈R,那么有 ( a－b ) 2≥0 ( 1 )把(1)式左边展开，得 a 2 －2ab＋b 2 ≥ 0 ∴ a2＋b 2 ≥2ab ( 2 )(2)式中取等号成立的充要条件是什么？ 公式2、探索设a、b、c∈R，依次对其中的两个运用公式(2)，有a 2 +b 2 ≥2ab;b 2 +c 2 ≥2bc;c 2 +a 2 ≥2ca.a2+b2≥2ab (a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号) 把以上三式叠加，得 a 2 ＋b 2 ＋c 2 ≥ab＋bc＋ca ( 3 ) (当且仅当a=b=c时取“=”号) 从以上推导过程中可以学到一种处理两项以上的和式问题的数学思想与方法—迭代与叠加. 由于 a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2),启示我们把公式(2)变成 a2－ab＋b2≥ab, 两边同乘以a +b，为了得到同向不等式，这里要求a、b>0, 得到 a3+b3≥a2b＋ab2。 ( 4 )3、再探索 考查两个以上实数的更高次幂的和，又能得到什么有趣的结果呢？a2+b2≥2ab (a、b∈R当且仅当a＝b时取“＝”号) 重要不等式2 如果a、b、c＞0,那么a3＋b3＋c3 ≥3abc (当且仅当a＝b＝c时取“＝”号)　考查三个实数的立方和又具有什么性质呢？ 由公式(3) 的推导方法，再增加一个正实数c，对b、c , c、a 迭代(4)式，并应用公式(2)，得 2(a3+b3+c3)≥a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2) ≥a ·2bc+b ·2ca+c ·2ab=6abc∴ a3+b3+c3≥3abc ( 5 ) (当且仅当a=b=c时取“=”号） 4、定理( 6 ) (当且仅当a=b时取“=”号)在公式(5)中用 、 、 分别替换a、b、c，可得 ( )3 + ( ) 3 + ( ) 3 ≥3 a + b +c ≥3 ∴ （a+b+c)/3 ≥ ( 7 ) (当且仅当a＝b＝c时取“＝”号）a2+b2≥2ab (a、b∈R当且仅当a=b时取“=”号)公式a3+b3+c3 ≥3abc (a,b,c∈