非负矩阵谱半径的brauer型估计.docxVIP

非负矩阵谱半径的brauer型估计 定义从a到（a）n，并记录从n到{1、n}、ri（a）=jnaij、ri（a）=jn，i}，aij，in。 关于非负矩阵谱半径的估计, 最早是Perron-Frobenius的结果:mini∈Nri(A)≤ρ(A)≤maxi∈Νri(A). 虽然这个结果要早于Gerschorin定理, 但它可看作是利用Gerschorin圆盘的右端点对ρ(A)作出估计, 所以不妨仍然称其为Gerschorin型估计. Brauer利用Cassini卵形域给出了非负矩阵谱半径的Brauer型估计, 改进了Perron-Frobenius的结果. M矩阵一个主要的等价表征指出M矩阵特征值的实部皆正, 佟文廷推进了这一结果, 得到M矩阵按模最小特征值是一个正数; 张家驹证明了M矩阵的实部最小特征值也是其按模最小特征值, 并给出这一特征值的估计式:mini∈Nri(A)≤ω0(A)≤maxi∈Nri(A). 同理, 这个估计也称为Gerschorin型的. 之后, 逄明贤进一步给出M矩阵最小特征值的Brauer型估计. 本文利用Brauldi使用的通过有向图的推证方法以及文献引进的有向图的1-path覆盖, 建立了非负矩阵的谱半径与M矩阵最小特征值的Brauldi型估计和改进的Brauer型估计, 从而改进了文献中的相应结果. 1 a的内涵 设Γ(A)表示A∈Cn×n的有向图,N是其节点集合,E(A)={ei,j|aij≠0,i,j∈N}是其有向边集合. 有向边序列γ:ei1,i2,ei2,i3,…,eis-1,is,eis,i1, 其中s≥2, 且诸i1,i2,…,is互不相同, 称为Γ(A)的简单回路, 简记为γ:i1,i2,…,is,is+1=i1. 简单回路的全体记为C(A).Γ+(i)={j∈N|j≠i,ei,j∈E(A)}表示i在Γ(A)中的后继集合. 非空集合ν上的一个关系“?”称为先序, 如果“?”满足: 自反性与传递性, 即a?a, ?a∈ν;a?b及b?c蕴涵a?c,a,b,c∈ν. 引理1.1设Γ(A)是A的有向图, ?是N上的一个先序. 若?i∈N,Γ+(i)≠?, 则在Γ(A)中存在一个简单回路γ:i1,i2,…,is,is+1=i1, 使得 l?ij+1,?l∈Γ+(ij)?j=1,2,?,s.(1.1) 定义1.1设γ:i1,i2,…,is,is+1(is+1=i1)∈C(A),η表示2与s的最大公约数,τ=s/η, 则集合{ei1,i2,ei1+η,i2+η,…,ei1+(τ-1)η,i2+(τ-1)η}称为γ的奇1-path覆盖; 集合{ei2,i3,ei2+η,i3+η,…,ei2+(τ-1)η,i3+(τ-1)η}称为γ的偶1-path覆盖.γ一个确定的1-path覆盖记为P1(γ). 当s为正奇数时,γ的奇、 偶1-path覆盖相同, 即γ仅有一个包含其所有s条有向边的1-path覆盖. 当s为正偶数时,γ有2个各包含其s/2条有向边的奇、 偶1-path覆盖. 定义1.2对Γ(A)中的每个γ∈C(A), 取定一个1-path覆盖P1(γ), 则称Ρ1(A)=∪γ∈C(A)Ρ1(γ)为Γ(A)的一个1-path覆盖. 若A是n≥2阶的可约矩阵, 则有置换阵P, 使得 ΡAΡΤ=(A11A12?A1Κ0A22?A2Κ????0?0AΚΚ)?2≤Κ≤n?(1.2) 其中Att为A的nt阶主子阵, 其或为不可约矩阵, 或是1阶零矩阵,Κ∑t=1nt=n. 式(1.2)中右端矩阵称为A的约化法式. 若不计Att的次序, 法式(1.2)与P的选择无关, 因此式(1.2)惟一地确定集合N={1,…,n}的划分N1,…,NK对应于A11,…,AKK的足码集合. 当A为不可约矩阵或1阶零矩阵时, 为统一, 也记A=(A11), 这时n1=n,N1=N. 记α=∪nt≥2,1≤t≤ΚNt?ΘA={aii为A的主对角元|i∈N\α}, 易见α={i∈N|i∈γ∈C(A)}. 定义1.3A∈Cn×n, 如果N=α, 则A是弱不可约矩阵, 记为A∈WI. 对于一般矩阵, 如果α≠?, 则称A[α]为A的弱不可约核, 记为?. 当α=?时, 记?=?. 2 raaaaa 规定: max ?=min ?=0. 显然有: 引理2.1设a1,…,an∈R,N={1,…,n},T?N. 定义函数f(x)=∏i∈T(x-ai), 则当x≥maxi∈T{ai}时,f(x)严格单调增加. 定理2.1设A=(aij)≥0, 对?γ∈C(A), 用rA(γ)表示方程∏i∈γ(x-aii)=∏i∈γRi(?A)的大于maxi∈γ{aii}的实根, 并记mrc(A)=max{minγ∈C(A)rA(γ),maxΘA}?Μ