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长郡中学2023年高一上学期期末考试
数学试卷
时量:120分钟 满分:150分
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. 已知复数,则复数在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 正方体中,异面直线与所成角为( )
A. B. C. D.
3. 在中,,则( )
A. B.
C. D.
4. 为空间中两条不同的直线,为两个不同的平面,则下列结论正确的是( )
A. 若∥,∥,则∥
B. 若为异面直线,则过空间任一点,存在直线与都垂直
C. 若,,则与相交
D. 若不垂直于,且,则不垂直于
5. 一个圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍,若该圆锥的体积为,则该圆锥的母线长为( )
A. 3 B. C. 6 D.
6. 向量,且,则( )
A. B. C. D.
7. 先后两次掷一枚质地均匀的股子,事件“两次掷出的点数之和是6”,事件“第一次掷出的点数是奇数”,事件“两次掷出的点数相同”,则( )
A. A与互斥 B. 与相互独立
C. D. A与互斥
8. 已知点G为三角形ABC的重心,且,当取最大值时,( )
A. B. C. D.
二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9. 某企业对目前销售的A,B,C,D四种产品进行改造升级,经过改造升级后,企业营收实现翻番,现统计了该企业升级前后四种产品的营收占比,得到如下饼图:
下列说法正确的是( )
A. 产品升级后,产品A的营收是升级前的4倍
B. 产品升级后,产品B营收是升级前的2倍
C. 产品升级后,产品C的营收减少
D. 产品升级后,产品B?D营收的总和占总营收的比例不变
10. 设,是复数,则下列命题中正确的是( )
A. 若是纯虚数,则
B 若,则
C. 若,则
D. 若复数满足,则的最大值为
11. 如图,某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔(A为塔顶,B为塔底)高度,选取与B在同一水平面内的两点C与D(B,C,D不在同一直线上),测得.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有:,则根据下列各组中的测量数据可计算出塔的高度的是( )
A. B.
C. D.
12. 如图,正方体的棱长为4,M是侧面上的一个动点(含边界),点P在棱上,且,则下列结论正确的有( )
A. 沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为
B. 保持与垂直时,点M的运动轨迹长度为
C. 若保持,则点M的运动轨迹长度为
D. 平面被正方体截得截面为等腰梯形
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13. 《本草纲目》中记有麦门冬这一种药物,书中所提麦门冬,别名麦冬、寸冬等,临床可用于治疗肺燥干咳、津伤口渴、喉痹咽病、阴虚劳嗽等.一个麦门冬可近似看作底面拼接在一起两个圆锥,如图所示,则该麦门冬的体积约为______.
14. 甲、乙两名考生填报志愿,要求甲、乙只能在A,B,C这3所院校中选择一所填报志愿.假设每位同学选择各个院校是等可能的,则院校A,B至少有一所被选择的概率为_________.
15. 水平桌面上放置了4个半径为2的小球,4个小球的球心构成正方形,且相邻的两个小球相切. 若用一个半球形的容器罩住四个小球,则半球形容器内壁的半径的最小值为_____.
16. 如图,已知,分别为两边上的点,,,过点,作圆弧,为的中点,且则线段长度的最大值为_________.
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 已知向量,.
(1)若,求的值;
(2)若,求值.
18. 如图,在棱长为2的正方体中,为的中点,为的中点.
(1)求证:平面;
(2)求三棱锥的体积.
19. 对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取名学生作为样本,得到这名学生参加社区服务的次数,根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图.
分组
频数
频率
10
24
2
合计
1
(1)写出表中、及图中的值(不需过程);
(2)若该校高三年级学生有240人,试估计该校高三年级学生参加社区服务的次数在区间上的人数;
(3)估计该校高三年级学生参加社区服务次数的中位数.(结果精确到0.01)
20. 记的内角的对边分别为,已知.
(1)求;
(2)若,求面积.
21. 已知三棱锥ABCD,D在面ABC上的投影为O,O恰好为△ABC的外心.,.
(1)证明:BC⊥AD;
(2)E为AD上靠近A的四等分点,若三棱锥A-B
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