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丰台区2022-2023学年度高二第二学期期中练习
数学(A卷)
考试时间:120分钟
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1. 若,求( )
A. B. C. D.
2. 已知数列的首项,且满足,则( )
A. B. C. D.
3. 已知某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的位移(单位:)与时间(单位:)之间的关系为.则当时,该运动员的滑雪速度为( )
A. B. C. D.
4. 已知数列是等比数列,其前项和为,若,,则的值为( )
A B. C. D.
5. 若函数,则的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
6. 用数学归纳法证明“对任意的,”,由到时,等式左边应当增加的项为( )
A. B.
C. D.
7. 曲线在处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数,其导函数的部分图象如图,则对于函数的描述错误的是( )
A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递增
C. 为极小值 D. 为极小值点
9. 已知等比数列的前项和为,若,则( )
A. 为递减数列 B. 为递增数列
C. 数列有最小项 D. 数列有最大项
10. 任取一个正整数,若是奇数,就将该数乘3加1;若是偶数,就将该数除以2.反复进行上述两种运算,经过有限次步骤后,必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”等).如果对于正整数m,经过n步变换,第一次到达1,就称为n步“雹程”.如取,由上述运算法则得出:,共需经过5个步骤变成1,得.则下列说法错误的是( )
A. 若,则
B. 若,则只能是4
C. 随着增大,不一定增大
D. 若,则的可能值有5个
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.
11. 函数,则_____.
12 如果成等比数列,那么________.
13. 如图,已知函数图象关于直线对称,直线是曲线在点处的切线,则_____.
14. 我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方:如图,将,,,,填入的方格内,使三行,三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地,将连续的正整数,,,,填入个方格中,使得每行,每列和两条对角线上的数字之和都相等,记此和为,这个正方形叫做阶幻方.如图三阶幻方的.若,则_____.
15. 函数()的所有极值点从小到大排列成数列,设是的前n项和,给出下列四个结论:
①数列为等差数列;
②;
③为函数的极小值点;
④.
其中所有正确结论序号是______.
三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
16. 已知数列为等差数列,若,.
(1)求的通项公式;
(2)若数列满足,求数列的前项和.
17. 已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若在区间上的最小值为,求的取值范围.
18. 已知数列满足,且.
(1)设数列满足,证明:是等比数列;
(2)求数列的通项公式.
19. 已知函数,且处取得极值.
(1)求实数的值;
(2)若方程有两个解,求实数的取值范围.
20. 已知函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)若函数在区间上单调递增,求实数的取值范围.
21. 定义“三角形数”:对于给定的正整数,若存在正整数,使得,则称是“三角形数”;否则,不是“三角形数”.
已知数列满足,且.
(1)写出的值;
(2)证明:当且仅当是“三角形数”时,是正整数;
(3)证明:数列的通项公式为,其中表示不超过的最大整数,如,,.
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