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第九节 函数模型及其应用第二章 函数
考试要求:1.在实际情景中,会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律.2.结合现实情景中的具体问题,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.
必备知识·回顾教材重“四基”01
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2.指数、对数、幂函数模型性质比较函数 性质y=ax(a1)y=logax(a1)y=xn(n0)在(0,+∞)上的增减性单调_____单调_____单调_____增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与____平行随x的增大逐渐表现为与____平行随n值变化各有不同值的比较存在一个x0,当x>x0时,有logax<xn<ax递增递增递增y轴x轴
“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;指数增长先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;对数增长先快后慢,其增长速度缓慢.
?34512××√×
2.下列函数中,随x的增大,y的增长速度最快的是( )A.y=0.001ex B.y=1 000ln xC.y=x1 000 D.y=1 000·2xA 解析:在对数函数、幂函数、指数函数中,指数函数的增长速度最快,排除B,C;指数函数中,底数越大,函数增长速度越快.故选A.34512
3.已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是( )A.f(x)>g(x)>h(x) B.g(x)>f(x)>h(x)C.g(x)>h(x)>f(x) D.f(x)>h(x)>g(x)B 解析:当x∈(4,+∞)时,易知增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x).故选B.34512
4.在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据,如下表:34512x0.500.992.013.98y-0.990.010.982.00则对x,y最适合的拟合函数是( )A.y=2x B.y=x2-1C.y=2x-2 D.y=log2xD 解析:根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除A;根据x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.故选D.
?34512
关键能力·研析考点强“四翼”考点1 利用函数的图象刻画实际问题——基础性02考点2 已知函数模型解决实际问题——综合性考点3 构造函数模型解决实际问题——应用性
1.如图,一个高为H且装满水的鱼缸,其底部装有一个排水小孔,当小孔打开时,水从孔中匀速流出,水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时,水流出所用时间为t,则函数h=f(t)的图象大致是( )3412考点1 利用函数的图象刻画实际问题——基础性
B 解析:函数h=f(t)是关于t的减函数,故排除C,D;开始时,h随着时间的变化,变化缓慢,水排出超过一半时,h随着时间的变化,变化加快,故对应的图象为B.故选B.3412
2.有一个盛水的容器,由悬在它上空的一条水管均匀地注水,最后把容器注满,在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示.若图中PQ为一线段,则与之对应的容器的形状是( )B 解析:由函数图象可判断出该容器的形状不规则,又函数图象的变化先慢后快,所以容器下边粗,上边细.再由PQ为线段,知这一段是均匀变化的,所以容器上端必是直的一段,排除A,C,D.故选B.3412
3.(多选题)(2022·北京东城区模拟)某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为y,观影人数记为x,y关于x的函数图象如图(1)所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图(2)、图(3)中的实线分别为调整后y关于x的函数图象.3412
给出下列四种说法,其中正确的是( )A.图(2)对应的方案是:提高票价,并提高固定成本B.图(2)对应的方案是:保持票价不变,并降低固定成本C.图(3)对应的方案是:提高票价,并保持固定成本不变D.图(3)对应的方案是:提高票价,并降低固定成本3412
BC 解析:由题图(1)可设y关于x的函数为y=kx+b,k>0,b<0,k为票价,当k=0时,y=b,则-b为固定成本.由题图(2)知,直线向上平移,k不变,即票价不变,b变大,则-b变小,固定成本减小,故A错误,B正确;由题图(3)知,直线与y轴的交点不变,直线斜率变大,即k变大,票价提高,b不变,即-b不变,固定成本不变,故C正确,D错误.3412
4.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y(单位:千克)随时间x(单位:天)变化的函数图象,如图所示,则此人在12月26日大约卖出了西红柿_______千克.3412?
1.解决这类问题一般要根据题意构建函数模型,先建立函数模型,再结合模型选
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