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§1.1正、余弦定理 舞阳一高 丁景丽 一、正弦定理 Ⅰ.新课导入: 在ABC中，边AB与角C的关系如何？ A C B 大边对大角，小边对小角. 1.正弦定理: (1)证法一：从①直角三角形 ; ②锐角三角形;③钝角三角形三方面证明正弦定理成立,从而将正弦定理的适用范围推广到任意三角形. C B A A B C C A B D D a b a b a b Ⅱ.讲授新课: C A B C B A a b a b 过A作单位向量i垂直于AB，因为 证法二： 证法三： A B C O D a b 作?ABC的外接圆O，连接CO，交圆于点D，连接BD，则∠CBD=90°，且A=D， 在Rt?CBD中， a=2RsinD，又sinD=sinA， ∴ a=2RsinA， 从而得， 2R 所以 同理得 (2)正弦定理的证明中用到的两种常用的解题方法,即构造直角三角形法及向量法，这对以后我们的解题具有指导意义. (3)正弦定理的应用:? 一是方程思想： ①已知任意两角及其一边解三角形; ②已知任意两边与其中一边的对角解三角形. 二是比例思想： 三角形三条边的比等于对应角的正弦的比， 即a:b:c=sinA:sinB:sinC.这个点在实现边角转化时非常有用. 2.余弦定理: (1)余弦定理的向量法证明： C B A a b c (2)余弦定理的推论： 由余弦定理可得： (3)余弦定理及其推论的应用:? ①已知两边和它们的夹角解三角形; ②已知三角形的三边解三角形. (4)正弦定理与余弦定理区别与联系： 正弦定理涉及到的是角的正弦，是一次关系，运算速度往往要快，但可能会出现多解的情况（用大边对大角理论进行取舍）. 余弦定理涉及到的是角的余弦，是二次关系.若一个角是锐或钝无法确定时，建议尽量用余弦定理.且余弦定理中有和的形式以及积的形式，所以与不等式联系较密，常用于解决周长最值、面积最值等最值问题. 3.三角形常用的面积公式: (1) (2) (3) 在解三角形时，面积公式的选取由两个因素决定：一是边的乘积，二是给定的角. Ⅲ.应用举例:
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