(高中数学必修)基本不等式.ppt

§3.4基本不等式: 2002年第24届国际数学家大会在北京进行 2002年第24届国际数学家大会在北京进行 会标的设计源中国古代数学家赵爽为了证明发明于中国周代的勾股定理而绘制的弦图。它既标志着中国古代的数学成就，又象一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学精英们。 欣 赏 体 会 丰 富 自 我 你能在图中找出一些面积的相等或不等关系吗正方形ABCD的面积为a2＋b24个直角三角形的面积和为2ab所以不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。当EFGH缩为一点，即a=b时，有a2＋b2＝2abADBCEFGHbaBCDE(FGH)ab 不等式： （当且仅当a=b时，等号成立）特别地，如果a0、b0,用 分别代替a、b得：即：要特别注意条件写成：探究 _____要证只要证①显然④是成立的，当且仅当______时，等号成立下面证明不等式：证明：要证②，只要证②③要证③，只要证④分析法 ABEDCab?由“半径不小于半弦”得：几何解释∵Rt△ACDRt△DCB∽∴CD2 = AC · BC∴CD=即 基本不等式：当且仅当a=b时，等号成立。注意：①不等式的适用范围。② 称为正数a、b的几何平均数 称为它们的算术平均数。思考的适用范围呢？a , b∈R③等号成立的条件：a=b ②基本不等式：常用的不等式：①重要不等式：③基本不等式的变形： 例1.(1) 已知 并指出等号成立的条件.(2) 已知 与2的大小关系,并说明理由.(3) 已知 能得到什么结论? 请说明理由.应用一：利用基本不等式推断代数式的大小关系 其中恒成立的是 _________利用基本不等式推断大小关系例1：设0a1，给出下列不等式(1)应用举例 解:一正二定三相等 解:一正二定三相等其中恒成立的是 _________例1：设0a1，给出下列不等式应用举例利用基本不等式推断大小关系×(1) 归纳小结：用基本不等式要注意二定一正三相等其中恒成立的是 _________例1：设0a1，给出下列不等式(1)应用举例利用基本不等式推断大小关系 例2：下列各式中，用基本不等式可以得到 最小值 4 的是（ ）C利用基本不等式求值域应用举例 2.推断题(1) ( )(2) ( )巩固练习(3) ( )√××一正二定三相等 应用二：解决最大（小）值问题分析：（1）面积肯定，求长与宽的和的最小值（2）________肯定，求_________的最大值长与宽的和长与宽的积联想：（左右）（左右）例2、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？（2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？应用举例 例2、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？（2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？应用二：解决最大（小）值问题解：(1)设长为xm,宽为ym,则xy=100,篱笆的长为2(x+y)m由可得∴ 2（x+y）≥40当且仅当x=y即x=y=10时，等号成立答(略)一正二定三相等应用举例 例2、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？（2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？应用二：解决最大（小）值问题解：(2)设长xm,宽ym,则2(x+y) =36, x+y=18面积为xy m2由可得当且仅当x=y即x=y=9时，等号成立答(略)应用举例 应用二：解决最大（小）值问题归纳小结：（1）两个正数的 积 为定值，和有最小值（2）两个正数的 和 为定值，积有最大值应用要点：二定一正三相等例2、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？（2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？