工科离散数学课件 第六章 6_8_环和域(1)-环.pptx

6.8 环和域很多系统同时存在着两个运算，且它们之间的互相牵连也会使单个运算体现出特殊性，这样的系统就是环和域。这些系统在解决代数、组合设计等问题上具有重要作用，有限域还是处理数论、编码、密码等问题的有效工具。 6.8 环和域-环与整环6.8.1 环与整环 [环]设<A, +, * >是一个代数系统，+和 * 是二元运算。若 (1) <A, +>是阿贝尔群； (2) <A, * >是半群； (3) 运算 * 对运算+是可分配的。称<A, +, *>是一个环（ring）。示例：?、?、?和?关于普通的加法和乘法构成环，称为整数环?、有理数环?、实数环?和复数环?。示例：若n ≥ 2， n 阶实系数多项式环、n 阶实矩阵矩阵环、?n = {0, 1, 2, …, n-1} 上的模 n 整数环。 6.8 环和域-环与整环长见识：一般将环中加法的幺元记作0或θ，乘法的幺元记作1（若存在）。对?x，其加法逆元称为“负元”，记作-x，且记x+(-y)为x - y 。定理-环的性质：设<A, +, *>是一个环，则对?a, b, c?A ，有(1) a*0 = 0*a (2) a*(-b) = (-a)*b = -(a*b)(3) (-a)*(-b) = a*b (4) a*(b-c) = a*b-a*c(5) (b-c)*a = b*a-c*a证明：(1) a*0 = a*(0+0) = a*0+a*0，因<A, +>是群，消去a*0，得a*0 = 0 。(2) a*b+a*(-b) = a*(b-b) = a*0 =0 ，故a*(-b) 为a*b 的负元 -(a*b) 。同理，(-a)*b 也是a*b 的负元。——(3) 由(2)，a*b=-((-a)*b ) =-(a’ * b ) = a’*(-b) = (-a)*(-b) 6.8 环和域-环与整环(3) (-a)*(-b) = a*b。因a*(-b) = -(a*b)，知a*b = -(a*(-b))。又因为(-a)*b = -(a*b)，有(-a)*(-b) = -(a*(-b)) 。故a*b = (-a)*(-b) 。(4) a*(b-c) = a*b-a*c 。a*(b-c) = a*(b+(-c)) = a*b+a*(-c) = a*b-a*c 。(5) (b-c)*a = b*a-c*a 。与(4)类似。例6-26：在环中计算(a+b)2和(a-b)2。解：(a+b)2 = (a+b)(a+b) = a2+a*b+b*a+b2 (a-b)2 = (a-b)(a-b) = a2-a*b-b*a+b2Try it：环中加法的幺元0恰好是乘法的零元。——环中的算律除了乘法不能使用交换律外，其他均与实数的加法和乘法算律相同。 6.8 环和域-环与整环[零因子] 在环<A, +, *>中，若a?0，b?0，但a*b = 0，称a和b为零因子。Try it：系统<A, +, *>无零因子是指，对?a, b∈A，若a*b=0，则a=0或b=0。例6-27：在2阶矩阵环中，[00 00 ]为加法幺元θ。虽然[10 00 ]和[00 01 ]均非加法幺元θ，但[10 00 ]×[00 01 ]=[00 00 ]所以， [10 00 ]和[00 01 ]都是零因子。 6.8 环和域-环与整环设<A, +, *>是环。[交换环]如果乘法运算*是可交换的，则称 A 为交换环。[含幺环]如果乘法运算*含有幺元，则称 A 为含幺环。[无零因子环]如果乘法运算无零因子，则称 A 为无零因子环。[整环]无零因子的含幺交换环称为整环（domain）。例6-28：<?, +, ?>、<?(S), ?, ∩>和<?(S),⊕, ∩>是整环吗？解：都是含幺交换环，但只有< ?, +, ?>是整环。因为?为加法?和⊕的幺元，A = {a} ? ? 和 B = {b} ? ?，但A∩B = ?，即它们都是零因子，代数系统?(S)含有零因子，不是整环。 6.8 环和域-环与整环解：1是乘法╳m的幺元，且╳m满足交换律，< ?m ,+m , ╳m >是含幺交换环。若m为质数，则不存在a和b，使a?b = m。因此，对?a ? 0和 b ? 0，必有 a ╳mb = (a?b)(mod m) ? 0 此时的乘法无零因子，故< ?m +m, ╳m >为整环。例6-29：试说明<?m= {0, 1, 2, …, m-1} , +m , ╳m>是何种环。[模m同余类