工科离散数学课件 第六章 6_2_二元运算中的特殊元素(3) - 逆元.pptx

6.2 二元运算中的特殊元素-逆元6.2.3 逆元[逆元]设 e 是集合A上二元运算 ? 的幺元， x?A 。(1) 若 ?xl?A，使xl ? x = e，称 xl 是 x 的左逆元。(2)若 ?xr?A，使x ? xr = e，称 xr 是 x 的右逆元。长见识：(1) x与 x' 相互为逆元（互逆）。通常，x 的逆元可记作 x-1。(2)幺元 e 总以自身为逆元，且是等幂元，因为 e2 = e。(3)若 ?x' ?A，使x'?x = x?x' = e，称 x' 是 x 的逆元。示例： 0是?的加法幺元，除0外的元素都没有逆元。 ?的任何元素 x 都存在加法逆元 –x。 ?的乘法除0外的元素 x 都存在逆元 1/x。 ——x~ x^ 6.2 二元运算中的特殊元素-逆元例6-8： n阶实数矩阵乘法存在元素的逆元吗？例6-9：在C语言中，将所有字符串集合 Σ*上的字符串连接视为运算，找出存在逆元的元素及其逆元。解：空字符串为连接运算的幺元，且只有空字符串有逆元，就是其本身。解：单位矩阵是幺元，任何可逆矩阵（非奇异矩阵）M都存在逆元M -1 。 6.2 二元运算中的特殊元素-逆元定理：设 e 是 A 上二元运算 ? 的幺元，如果 A 的每个元素都有左逆元，且 ?是可结合的，则A的每个元素的左逆元也必定是其右逆元，且每个元素的逆元是唯一的。证明：对?a?A，设 b?A 是 a 的左逆元，c?A 是 b 的左逆元，则a ? b = e ? (a ? b) = (c ? b) ? (a ? b) = c ? (b ? a ) ? b = c ? e ? b = e说明 b 是 a 的右逆元。设 b 和 c 都是 a 的逆元，则b = b ? e = b ? (a ? c) = (b ? a) ? c = e ? c = c说明逆元是唯一的。问：(1)无结合性时定理成立吗？(2)部分元素有逆元时定理成立吗？ 6.2 二元运算中的特殊元素-逆元解：0是幺元，其他每个元素 x 都有逆元 k-x。长见识： x +k y 的结果就是 x+y 除以 k 的余数，即 x +k y = (x+y)(mod k)。例6-10：记 ?k={0, 1, 2, …, k-1}，定义?k 上的“模k加法”+k 为x +k y = {问是否每个元素都有逆元？x+y , x+y < k x+y-k , x+y ≥ k 6.2 二元运算中的特殊元素-逆元2. 若*是A上的二元运算，x?A存在逆元的条件是？(1) 运算*可结合，所有元素存在左逆元(2) 运算*可结合，x存在左逆元(3) 运算*可交换，所有元素存在左逆元(4) 运算*可交换，部分元素存在左逆元1. n阶实数矩阵乘法是否满足消去律？——(1)——否。矩阵乘法的零元是零矩阵。A = [10 00 ] ? [00 00 ]， B = [00 01 ] ， C = [01 00 ] ， R = [00 00 ] A?B = A?C = R，但B ? C。——幺元、逆元：左、右幺元零元同时存在，则左=右，幺元零元存在。——逆元：运算可结合，所有元素存在左逆元，则左逆元是逆元，逆元存在。