工科离散数学课件 第五章 5_1_从关系到函数(1) - 函数的概念.pptx

函 数第五章“函数”是一个基本的数学概念，体现在所有的数学和自然科学理论及应用中。函数建立了量之间的对应（变换），反映了一个量随另一个（些）量的变化而变化的关系。 5.1 从关系到函数可以从不同角度定义函数，其本质含义是：给定一个数集X，对其中的元素施加某种法则，得到另一数集Y。函数的概念含有三个基本要素：定义域X、值域Y 和施加的法则 f。这里将函数视为一类特殊的二元关系。 5.1.1 函数的概念5.1 从关系到函数-函数的概念1. 函数定义[函数] 若 f 是集合X 到Y 的关系，且对? x?X，有唯一的y?Y，使得 x, y?f，称 f 是X 到Y 的函数（映射、映照、对应）。记作f：X→Y（或 X →f Y，或 f?YX ） [定义域dom f ] 自变量x的取值范围。 ——Df[值域ran f ] 因变量(x 的函数值)y的取值范围。——有的书Rf[像原像] 称y为x在 f 作用下的像，x为y的原像。——一般关系中的x, y?f 或 x f y 在函数中记作 y = f(x)。映射f原像 像xy 2. 函数与关系的区别5.1 从关系到函数-函数的概念——若没有函数的定义域充满和单值性要求，无法画出函数曲线。定义域充满：函数的定义域必须是X 而不能是X 的子集，即 dom f =X 。单值性：一个自变量只能有唯一的函数值（即像）：?x((x?X ∧ f (x) = y ∧ f (x) = z)→y = z)—— 2个重要区别，是判断一个关系是否为函数的依据。x1 x2y1 y2y2fX缺值 多值——X={1, 2}, Y={3, 4}, R={1, 3, 1, 4}？ 5.1 从关系到函数-函数的概念3. 函数的像集 [像集] 在函数 f：X→Y 中，f 的值域 ran f = Y，但所有x 的像一般仅是Y 的子集，称为“像集”：Rf = f (X) = {f (x) | x?X}4. 函数的表示解析表示： f：?→?，y =f (x) = 2x2+1序偶集合：普通关系的序偶集合方式：f = {1, a, 2, a}多元函数：如果一个函数 f 的定义域 X 为多元组集合， f 是多元函数 ：f (x1, x2, …, xn) = f (x1, x2, …, xn) 例5-1：判断下述关系是否构成函数。(1) f = {x, y?x, y?? ∧ x+y 10}(2) f = {x, y?x, y?? ∧ y = x2} ——y=f(x)=x2(3) f = {x, y?x, y?? ∧ x = y2}(4) g = {x, y?x, y?? ∧ y = 小于x的素数个数}(5) exp = {x, ex?x?? } ——exp(x)=ex(6) arcsin = {x, y?x, y?? ∧ x = sin(y)}5.1 从关系到函数-函数的概念解： (1) 否。x ≥ 10时没有像，x 10时可能有多个像。(2) 是。y = f (x) = x2 。(3) 否。x 0时没有像，x 0时有2个像?￣x 和- ?￣x 。(4) 是。小于x的素数为≥ 0的某个整数。(5) 是。 (6) 否。若arcsin = π/6+2kπ，像不唯一。