工科离散数学课件 第五章 5_2_函数的逆与复合(1) - 双射的反函数.pptx

5.2 函数的逆与复合函数的逆和复合本质上就是关系的逆和复合，但有更严格的要求和表示上的变化。这是两种最基本的函数运算。 5.2.1 双射的反函数5.2 函数的逆与复合-双射的反函数问：视函数 f 为关系，f 的逆是函数吗？示例：设函数f：{0, 1, 2}?{a, b}，有f = {1, a, 2, a, 3, a}，求f 的逆并说明其是否为函数。答：如果 f 不是满射，f 的逆不能使定义域充满。如果f 不是单射， f 的逆不能满足单值性。解： f -1 = {a, 1, a, 2, a, 3}，不是函数。123ba 定理：若f 是X 到Y 的双射函数，则 f -1 = {y, x|x, y?f }是Y 到X 的双射函数。5.2 函数的逆与复合-双射的反函数证明：(1)?f -1是函数。 ——f-1: Y?X? f -1的定义域充满。 ——每个y都有像x对?y?Y，因 f 是满射，有x?X， 使x, y?f ，即y, x?f -1，说明 dom f -1 =Y。? f -1是单值的。 ——1个y不能对应2个x若f -1(y) = x1，且f -1(y) = x2 ，必有x1 = x2 。否则，有f (x1) = y， f (x2) = y ，与f 是单射矛盾，故 f -1是单值的。——定义中的f 的具体值是：f -1。 5.2 函数的逆与复合-双射的反函数(2)?f -1是满射。 ——每个x都有原像y对?x ?X，因f 是函数，有 y?Y，使x, y?f，即y, x?f -1 。(3)? f -1是单射。 ——2个y不能对应1个x若f -1(y1) = f -1(y2) = x，则 f (x) = y1且 f (x) = y2。由f 的单值性知， y1 = y2。因此， f -1是双射。