工科离散数学课件 第三章 3_1_集合的概念和表示方法(3) - 空集与全集.pptx

3.1.3 空集与全集3.1 集合论基础-空集与全集1. 空集[空集?]不包含任何元素的集合： ? ={ } = {x?p(x)? ┐p(x)} = {x?0} ——p(x)是任意谓词问：(1)对任意个体x，命题x∈?的值是？(2)若A? ?，会得到什么结论？答：(1) 假。(2) 命题?x(x∈A)为真。? ? {0}，? ? {?}。 3.1 集合论基础-空集与全集定理：对任意的集合A，有??A，即空集是所有集合的子集。证明： 反证法。若??A为假，则┐?x(x∈?→x∈A)为真。因为， ┐?x(x∈?→x∈A) ? ?x(x∈? ? x∈A) ? ?x(x∈?) ? ?x(x∈A) ? ?x(x∈?)说明?x(x∈?)为真。与空集的定义矛盾。直接证法：对?x，由于x∈?为永假式，故?x(x∈?→x∈A)??x(0→x∈A)??x(1)?1于是，??A成立。长见识：多数概念由条件命题描述，而条件句的前件为0时命题必然为真。 ——核心技术 ——任意集合A ≠ ?均有两个子集，分别是?和A，称为平凡子集。 2. 全集[全集U]在一定范围内，包含所有元素的集合，记作U（或E）： U = {x?p(x) ? ┐p(x)} = {x | 1} ——p(x)是任意谓词3.1 集合论基础-空集与全集长见识：对任意的集合A，有A?U。——空集是绝对的概念。——全集是相对的概念。涵盖所讨论的对象的集合就可以作为全集，而并非需要包括世间万物。例3-1：构造集合A、B和C，使A∈B，B∈C，且A?C。解：A = {a}，B = {{a},b} = {A,b} ，C = {{{a},b}, c} = {B, c} 。长见识：为消除括号混乱，这样写： A = {a}，B = {A, b}，C = {B, c}。 3.1 集合论基础-空集与全集例3-2：对任意集合A、B和C，确定下述命题是否为真。 (a)如果A?B及B?C，则A?C。 (b)如果A?B及B?C，则A?C。 ——A = {a}, B = {A}, C = {A, c} (c)如果A?B及B?C，则A?C。 ——A = {a}，B = {a, b}，C = {B, c} (d)如果A?B及B?C，则A?C。 (e)如果A?B及B?C，则A?C。 ——A = {a}，B = {a, b}，C = {A, c} (f)如果A?B及B?C，则A?C。 ——A = {a}，B = {a, b}，C = {A, B} (g)如果A?B则A?B。 ——A = {a}，B = {a, A}解：(a) 真。(b) 假，如A = {a}, B = {A}, C = {A, c}。(c) 假，如A = {a}，B = {a, b}，C = {B, c}。 3.1 集合论基础-空集与全集(d)如果A?B及B?C，则A?C。假，同(c)，如A = {a}，B = {a, b}，C = {B, c}。(e)如果A?B及B?C，则A?C。假，如A = {a}，B = {a, b}，C = {A, c}。(f)如果A?B及B?C，则A?C。假。如A = {a}，B = {a, b}，C = {A, B}。(g)如果A?B则A?B。假：如A = {a}，B = {a, A}。