工科离散数学课件 第三章 3_5_序偶与笛卡儿集(11) - 笛卡儿积.pptx

3.5.2 笛卡儿集3.5 序偶与笛卡儿积-笛卡儿集1. 笛卡儿集[笛卡儿集]集合A、B构成的笛卡儿积是一个序偶集合，序偶的第一元素取自于A，而第二元素取自于B：A?B = {<x, y> | x ? A∧ y ? B}笛卡儿集=直（接）积=叉乘。——法国哲学家、数学家、物理学家，因将几何坐标体系公式化而被称为“解析几何之父”。问：(1)若 <x, y> ? A?B，结论是？(2)对?x ? A，y ? B，结论是？——<x, y> ? A?B、<x, x>?A?A、<y, y> ? B?B——不能缺任何一个序偶<x, y> ——x ? A且y ? B 3.5 序偶与笛卡儿积-笛卡儿集例3-15：设 A = {a, b}，B = {1, 2, 3}，求A?B和B?A。解： A?B = {<a, 1>,<a, 2>,<a, 3>,<b, 1>,<b, 2>,<b, 3>} B?A = {<1, a>,<1, b>,<2, a>,<2, b>,<3, a>,<3, b>}Try it：(1) 对有限集，有 | A?B | = |A|?|B| 。(2) 若A = B = ?，笛卡儿积?×?就是平面直角坐标系。长见识：笛卡儿积 = 离散的直角坐标系。 A = { a, b}B={1, 2, 3}A?B< a, 1> 3.5 序偶与笛卡儿积-笛卡儿集2. 笛卡儿积的性质定理：对任意集合A、B 和C，有(1) A?? = ??A = ?。(2) 通常，笛卡儿积不满足交换律：A?B ≠ B?A。(3) 笛卡儿积不满足结合律：(A?B)?C ≠ A?(B?C)。——为与n元组含义一致，约定：A1?A2?…?An = (A1?A2?…?An-1)?An An = A?A?…?An个(4) 笛卡儿积对交和并运算满足分配律：① A?(B∪C) = (A?B)∪(A?C) ② (B∪C)?A = (B?A)∪(C?A)③ A?(B ∩C) = (A?B)∩ (A?C) ④ (B∩ C)?A = (B?A)∩ (C?A) 3.5 序偶与笛卡儿积-笛卡儿集问：笛卡儿积与普通集合有什么不同？答：笛卡儿积的元素为序偶。对?<x, y>，有 <x, y> ? A×B ? x ? A∧ y ? B ?(其他定义和条件)<x, y> ? C×D不是x长见识：验证A×B ? C×D 的根本是基于集合包含的定义：? ? 3.5 序偶与笛卡儿积-笛卡儿集例3-16：求证：A ? C且B ? D ? A×B ? C×D 。证明：? A×B ? C×D 。对?<x, y>? A×B， 有x ? A∧ y ? B为真。 因为A ? C且B ? D，有x ? C∧ y ? D为真。得<x, y> ? C×D。故A×B ? C×D。 ?A ? C且B ? D。对?x ? A， ?y ? B， 有<x, y> ? A×B 。 因为A×B ? C×D，有<x, y> ? C×D 。故x ? C， y ? D， A?C且B ? D成立。假设结论假设结论 3.5 序偶与笛卡儿积-笛卡儿集例3-17：求证：若C ? ?，则A ? B ? A×C ? B×C。证明：? A×C ? B×C。因为A ? B，有 ?<x, y>?A×C ? x ? A∧y ?C ? x?B∧y ?C ? <x, y> ?B×C 故A×C ? B×C。 ?A?B。对?x?A。因C ? ? ，?y?C，有<x, y> ? A×C 。因为A×C ? B×C，有<x, y> ?B×C 。故x ?B，A ? B成立。——<x, y>读作：序偶xy 3.5 序偶与笛卡儿积-笛卡儿集例3-18：对任意集合A、B、C，判断下述命题是否成立。(1) A×B = A×C ? B = C (2) A- (B×C) = (A-B)×(A-C)(3) 存在集合A，使得 A ? A×A解：(1) A = ?时不成立，否则成立。 (2) A = ? 成立，否则不成立。(3)存在，A = ?。 例3-19