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空间向量的数量积运算 [人教A版（2019）选择性必修第一册] (3227) 1. 给出下列说法，其中说法错误的是（?） A.?若空间向量满足则B.?空间中任意两个单位向量的模相等C.?对于非零向量若则D.?在向量的数量积运算中 知识点：空间向量的数量积空间向量的相关概念空间向量共线定理 答案：C ； D 解析： 对于空间向量相等，则与一定平行，故中说法正确； 对于单位向量的模相等，都为故中说法正确； 对于若且满足但是故中说法错误； 对于当为非零向量时， 因为和都是常数(不为零)，所以和表示两个向量，若和方向不同，则和不相等，故中说法错误. 故选. 2. 对于空间任意两个非零向量“”是“为钝角”的（?） A.?充分不必要条件B.?必要不充分条件C.?充要条件D.?既不充分也不必要条件 知识点：必要不充分条件空间向量的夹角空间向量的数量积 答案：B 解析： 当向量反向共线时此时夹角不是钝角，即若则所以“”是“为钝角”的必要不充分条件. 3. 如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都等于点分别是的中点，则下列向量的数量积等于的是（?） A.?B.?C.?D.? 知识点：空间向量的数量积 答案：C 解析： 故不满足题意；故不满足题意；故满足题意； 故不满足题意.故选. 4. 已知四面体的所有棱长都是点是的中点，则?. 知识点：空间向量的数量积 答案： 解析： 易知 . 5. 在平行六面体中，以为端点的三条棱长均是，且它们彼此的夹角都是则?．? 知识点：空间向量的夹角空间向量数量积的性质 答案： 解析： 设则两两夹角为，且模均为．??，?，?. 6. 向量其中是两两互相垂直的单位向量，则向量与的位置关系是?. 知识点：空间向量的数量积空间向量数量积的性质 答案：垂直 解析： 向量(其中是两两互相垂直的单位向量），????? 向量的位置关系是垂直. 7. 在空间四边形中，，则?的值为（?） A.?B.?C.?D.? 知识点：空间四边形空间向量的数量积 答案：A 解析： ，，．.故选．? 8. 设是空间不共面的四点，且则是（?） A.?钝角三角形B.?锐角三角形C.?直角三角形D.?不确定 知识点：数量积的性质判断三角形的形状向量的数量积的定义 答案：B 解析： 两两垂直，是锐角三角形. 9. 如图，是平面外一点，是的中点，若则与夹角的余弦值等于（?） A.?B.?C.?D.? 知识点：用空间向量研究两条直线所成的角空间向量数量积的性质 答案：B 解析： 由题意可得. 由可得 即故选. 10. 在四棱锥中，底面为平行四边形，且分别为上的点，且则（） A.????B.????C.????D.? 知识点：空间向量数量积的性质空间向量的线性运算 答案：B 解析： 连接.因为所以为的中点，则.因为所以所以故?，?因为所以，所以??故选. 11. 设正方体的棱长为与相交于点则（） A.?B.?C.?D.? 知识点：空间向量的数量积空间向量的线性运算 答案：B ； C 解析： 对于故错误；对于 故正确；对于，??，故正确；?对于 故错误.故选. 12. 如图，二面角的大小为分别在平面内，则（?） A.?B.?C.?D.? 知识点：二面角空间向量数量积的性质空间向量的线性运算 答案：A 解析： 与的夹角大小即为二面角的大小， 又 即 得故选.? 13. 已知长方体中，为侧面的中心为的中点，则 (1) ?； (2) ?； (3) ? . 知识点：空间向量的数量积空间向量数量积的性质空间向量的线性运算 答案：(1) (2) (3) 解析： (1) 如图所示，连接设则.. (2) . (3) ??? 14. 如图所示，已知空间四边形的各边和对角线的长都为点分别是的中点. (1) 求证：； (2) 求的长. 知识点：空间向量数量积的性质空间向量的线性运算 答案：(1) 证明：连接设.由题意可知且向量两两的夹角均为 即.同理可证. (2) 由可知的长为. 解析： (1) 略 (2) 略 15. 如图所示，三棱柱的底面边长和侧棱长都等于. (1) 设用向量表示并求出的长度； (2) 求异面直线与所成角的余弦值. 知识点：空间向量基本定理的应用空间向量的夹角空间向量数量积的性质 答案：(1) .因为所以. (2) 因为所以.因为所以所以异面直线与所成角的余弦值为. 解析： (1) 略 (2) 略 16. 如图所示，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱是位于上底面的八个点，则集合中元素的个数为（?） A.?B.?C.?D.? 知识点：空间向量的数量积 答案：A 解析： 则 易知所以则 故集合中元素的个数为故选. 17. 在棱长为的正方体中是正方体的三个不同的顶点，且