第1课时：用空间向量研究距离问题[人教A版（2019）选择性必修第一册](3227).docxVIP

第1课时：用空间向量研究距离问题[人教A版（2019）选择性必修第一册](3227) 1. 在空间直角坐标系中，平面的一个法向量为若则到平面的距离等于（?） A.????B.????C.????D.? 知识点：用空间向量研究点到平面的距离 答案：A 解析： 所以点到平面的距离.故选. 2. 已知平面的一个法向量为点在平面内，点到平面的距离则（） A.?B.?C.?或D.? 知识点：用空间向量研究点到平面的距离 答案：C 解析： 因为 所以解得或. 故选. 3. 已知空间直角坐标系中有一点点是平面内的直线上的动点，则两点间的最短距离是（） A.????B.????C.????D.? 知识点：空间直角坐标系中两点之间的距离公式 答案：B 解析： 因为点是平面内的直线上的动点， 所以可设点由空间两点间的距离公式，得?令 当时的最小值为所以当时的最小值为即两点间的最短距离是故选. 4. 四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高为（?） A.??B.??C.??D.? 知识点：用空间向量研究点到平面的距离 答案：A 解析： 在四棱锥中，，，设平面的法向量为则即令则可得. 点到平面的距离就是这个四棱锥的高?，故选. 5. 若平面的一个法向量为则点到平面的距离为（） A.????B.????C.????D.? 知识点：用空间向量研究点到平面的距离 答案：B 解析： 根据点到平面的距离公式可得点到平面的距离为 . 故选. 6. 如图，四棱锥的底面为矩形，平面.若则点到直线的距离为?. 知识点：用空间向量研究点到直线的距离 答案： 解析： 如图，以为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则点到直线的距离 ?点到直线的距离为. 7. 如图所示，在长方体中点是棱的中点，则点到平面的距离为（?） A.?B.????C.?D.? 知识点：空间直角坐标系用空间向量研究点到平面的距离平面的法向量及其应用 答案：B 解析： 连接.以为坐标原点，以的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，则.设平面的法向量为则取得所以点到平面的距离为， 故选B. 8. 如图，已知正方形的边长为分别是的中点平面且则点到平面的距离为（?） A.????B.????C.????D.? 知识点：用空间向量研究点到平面的距离 答案：B 解析： 以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，则. 设平面的法向量为 则即令则则 点到平面的距离. 9. 在棱长为的正方体中是的中点，则点到平面的距离是（?） A.?B.?C.?D.? 知识点：用空间向量研究点到平面的距离 答案：D 解析： 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系则 设平面的法向量为则 取得 点到平面的距离.故选. 10. 定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为的正方体中，异面直线与之间的距离是（?） A.?B.????C.?D.? 知识点：用空间向量研究两直线间的距离异面直线间的距离空间向量数量积的性质 答案：B 解析： 方法一：设为直线上任意一点，过作垂足为连接如图，设则.即即当时取得最小值故异面直线与之间的距离是.故选B.方法二：如图，取的中点连接交于点交于点则.连接在中，??.在正方体中，易证为异面直线与的公垂线段，即异面直线与之间的距离为.方法三：如图，以为原点，以的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，则连接则异面直线与之间的距离为. 总结：思路一：在上任取一点作于,设，根据得出和的关系，从而可得关于(或的函数关系，再求出此函数的最小值即可；思路二：用几何法求出异面直线与的公垂线段的长；思路三：用向量法求异面直线与之间的距离. 11. 已知正方体，在空间中到三条棱所在直线距离相等的点的个数（?） A.?????????? ??B.???????? ????????C.??????? ?????????D.?无数个 知识点：空间直角坐标系用空间向量研究点到直线的距离 答案：D 解析： 在正方体上建立如图所示空间直角坐标系， ? ? ? ? ? ? 并设该正方体的棱长为，连接，并在上任取一点， 因为，所以设，其中．作平面，垂足为，再作，垂足为，则是点到直线的距离．所以；同理点到直线的距离也是．所以上任一点与正方体的三条棱所在直线的距离都相等，所以与正方体的三条棱所在直线的距离相等的点有无数个．故选D． 12. 已知正方体的棱长为动点在棱上，动点在平面上，且平面则的长度的取值范围为（） A.?B.?C.?D.? 知识点：立体几何中的动态问题用空间向量研究空间中直线、平面的垂直 答案：D 解析： 以的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则设