工科离散数学课件 第一章 1_7_推理理论(1) - 蕴含与论证.pptx

1.7 推理理论推理是指从前提出发推出结论的思维过程，是研究形式逻辑学的主要目标。前提是已知命题公式集合，结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。推理理论是研究如何运用这些前提、规则以及进行形式化推理的理论。 1.7.1 蕴含与论证1.7 推理理论-蕴含与论证1. 推理与论证[蕴含]当且仅当 p?q 为永真式，称为 p 蕴含 q，记作 p ? q。 ——重要称 p 为前提，q 为 p 的有效结论（逻辑结论、可由 p 逻辑推出）。问：逻辑推理（论证）的实质是?[论证的一般描述]由一组前提H1, H2 , ..., Hn推断一个逻辑结论C：前提写作： ?Hi = H1?H2???Hn = H1, H2, ..., Hn[论证]得出逻辑关系p ? q的过程。答：证明 p ? q，即证明 p?q为永真式。蕴含符号写作? 或 ?。论证要求写作：H1?H2???Hn ?C，或 H1, H2, ..., Hn ?C，或H1, H2, ..., Hn ?C 例1-31：用符号描述一个初等数学证明：已知 a、b、c为实数，且a2-b2 = bc，c ≠ 0，证明a2/c = b(b/c+1)。1.7 推理理论-蕴含与论证解：记 p： a2-b2 = bc ，q：c ≠ 0，r：a2/c = b(b/c+1) ，那么，论证要求可描述为：p?q ? r——“论证”是要说明：若前提 p?q 正确，则结论r 也正确。归根到底，就是证明条件式 (p?q)→r 为永真式。 2. 非形式化论证方法1.7 推理理论-蕴含与论证(1)真值表法：列出公式?Hi ? C 的真值表。若表中所有行全为 1 则得证。——变元多时较麻烦(2)假言判断永真法(条件式永真法，演绎法）：说明不存在?Hi为1且C为0的情况。 ——p ? q 称为假言判断 两种叙述形式：① 假定前提 为1，说明结论C必为1。② 假定结论C为0，说明前提 必为0。——两种证明方法，不是两个步骤 例-28：证明 ┐q?(p?q) ? ┐p。 ——不会存在1 ?0的情况1.7 推理理论-蕴含与论证证明(方法a)： 若条件 ┐q?(p?q) 为 1。那么，┐q 和 p?q 都为1，从而 q 为0。因此，p 为0，故 ┐p 为1。证明(方法b)：若假定条件句的后件 ┐p 为 0。那么，有 p 为1。若 q 为1，则 ┐q 为0，故 ┐q?(p→q) 为0；若 q 为0，则 p→q 为0，故 ┐q?(p→q) 为0。总之，前件 ┐q?(p→q) 为0。 例-29：用符号描述推理过程并验证论证的有效性：如果6是偶数，则7被2除不尽。或5不是素数，或7被2除尽。但5是素数。所以6是奇数。1.7 推理理论-蕴含与论证解：记 p：6是偶数，q：7被2除尽，r：5是素数，则原推理可符号化为：p→┐q，┐r?q，r ? ┐p假定前提为1。那么， p→┐q，┐r?q和r 都为1，知 ┐r 为0。于是， q 为1，即 ┐q 为0，故 p 为0。因此，┐p 为1，论证有效。与常识相悖！——6不是奇数。怎么理解论证有效？——“演绎推理”，就是根据前提判断的逻辑性质进行推演的推理，“前提真实”和“形式有效（论证有效）”是保证演绎推理得到真实可靠结论的两个必要的条件。——如果前提不真实，即使推理形式有效，也不能保证得到真实的结论。——论证有效 ≠ 结论客观真实。 ——教材视频 1.7 推理理论-蕴含与论证*(3)消解法（“消解”，“归结”，resolution——消解原理）：当两个用析取式给定的条件中分别含有某个命题及其否定时，可以消去该命题的证明方法。——p与┐p真值相反，2个条件都为1时，q与r总有一个为1。∵ p?q ┐p?r∴ q?r例-30：运用消解法推证(┐p?q)?(p?r)?q?r？——(┐p?q)?(p?r)?(p?q) ?(┐p?r)，消去p，得 q?r 1.7 推理理论-蕴含与论证(4) 等值演算法（置换规则法）：利用等价变换说明条件式为永真式。例-31：((p?┐q)?p)?┐q？(5)主析取范式法：说明条件式的主析取范式包含所有的小项。例-32：((p?┐q)?p)?┐q？条件式 p→q 是对称的吗？