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【课标要求】
1.会求解方程根的存在性问题和不等式恒成立问题.
2.会将简洁的分式不等式化为一元二次不等式求解.
3.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型,并加以解
决.
【核心扫描】
1.有关不等式恒成立求参数的值或范围问题和分式不等式的
(重点)
2.对实际应用问题如何建立正确的数学模型并加以解决.
(难点)
;1.简洁的分式不等式的解法
;(2)分离参数,将恒成立问题转化为求最值问题,即:
k≥f(x)(kf(x))恒成立?k≥f(x)max(kf(x)max);k≤f(x)(kf(x))恒成立?k≤f(x)min(kf(x)min).
;关于将分式不等式转化为一元二次不等式的理解
将分式不等式转化为一元二次不等式,实际上是经过同解变形,化为与之等价的整式不等式求解,其理论依据是
注意:若分式不等式中含有“=”号,则在进行转化时可要注意分母不能等于0这个隐含条件.
;一元二次不等式的实际应用
(1)解不等式应用题,首先要认真审题,分清题意,建立合理、恰当的数学模型,这是解决好不等式应用题最关键的一环.
(2)不等式应用题常常以函数的形式消灭,大都是解决现实生活、生产、科技中的最优化问题,在解题中涉及不等式解法及有关问题.
(3)不等式应用题主要考查综合运用数学知识、数学方法分析和解决实际问题的能力,考查数学建模、解不等式等数学内容.;题型一 分式不等式的解法
;【变式1】 解下列不等式.; (2011·抚顺六校联考)设函数f(x)=mx2-mx-1.
(1)若对于一切实数x,f(x)0恒成立,求m的取值范围.
(2)对于x∈[1,3],f(x)-m+5恒成立,求m的取值范围.
[思路探究] 解答本题的关键是依据题目条件,构造恰当的函数,将不等式问题转化为函数问题来处理.
; 有关不等式恒成立求参数的取值范围,通常处理方法有二:
①考虑能否进行参变量分离,若能,则构造关于变量的函数,转化为求函数的最大(小)值,从而建立参量的不等式;
②若参变量不能分离,则应构造关于变量的函数(如一元一次、一元二次函数),并结合图象建立参量的不等式求解.; 当a为何值时,不等式(a2-1)x2-(a-1)x-10的解集为R?
; 汽车在行驶中,由于惯性作用,刹车后还要连续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素.在一个限速40 km/h以内的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了,事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m,乙车的刹车距离略超过10 m,又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间有如下关系:s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2.问:超速行驶应负主要责任的是谁?
;审题指导
[规范解答] 由题意知,对于甲车,有0.1x+0.01x212,即x2+10x-1 2000, (2分)
解得x30,或x-40(不符合实际意义,舍去), (4分)
这表明甲车的车速超过30 km/h.但依据题意刹车距离略超过12 m,由此估量甲车车速不会超过限速40 km/h. (6分)
对于乙车,有0.05x+0.005x210,即x2+10x-2 0000,(8分)
解得x40,或x-50(不符合实际意义,舍去), (10分)
这表明乙车的车速超过40 km/h,即超过规定限速. (12分)
;【题后反思】 解不等式应用题的步骤
(1)认真审题,抓住问题中的关键词,找准不等关系;
(2)引入数学符号,用不等式表示不等关系,使其数学化;
(3)求解不等式;
(4)还原为实际问题.
; 国家原计划以2 400元/t的价格收购某种农产品m t.按规定,农夫向国家纳税:每收入100元纳税8元(称作税率为
8个百分点.即8%).为了减轻农夫负担,国家制定乐观的收购政策,依据市场规律,税率降低x个百分点,收购量能增加2x个百分点,试确定x的取值范围.使税率调低后,国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
解 “税率降低x个百分点”,即调节后税率为(8-x)%;
“收购量能增加2x个百分点”时,总收购量为m(1+2x%)t,总收购款为2 400m(1+2x%)元;
“总收入不低于原计划的78%”,即税率调低后,税收总收入≥2 400m×8%×78%.
设税率调低后的“税收总收入”为y元,
;所以y≥2 400m×8%×78%,
即-44≤x≤2.
又0x≤8,所以0x≤2.
所以x的取值范围是
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