工科离散数学课件 第六章 6_7_群的陪集分解(1)-陪集.pptx

6.7 群的陪集分解研究集合在给定代数运算下的分类是抽象代数的目的之一，陪集则给出了在代数运算下将集合分解成若干个不相交子集的方法。由此得到的拉格朗日定理说明了有限群的一些基本性质。 6.7 群的陪集分解-陪集6.7.1 陪集 观察：若[i]表示整数集?上的模3同余类，则?共有3个不同的同余类[0]、[1]和[2]。——[0], +是?, +的子群，0是幺元。对?i ∈ ?，记： i[0] = { i+m | m ∈[0]}即i[0]是i与同余类 的所有元素和的集合 。?上的所有同余类可表示为 [0] = 0[0]，[1] = 1[0]，[2] = 2[0] 即i[0] = [i mod 3]。——这说明，所有i[0]中只有3个不同的子集，且其中之一为[0]本身。它们构成了原集合?的一个划分。 6.7 群的陪集分解-陪集[左陪集] 设H, ? 是群G, ? 的子群，对?a?G ，定义 aH = {a ? h | h∈H}称aH是由a 确定的H 在G中的左陪集。元素a 称为陪集aH的代表元素。 ——“让a去陪同”——aH是由a与H的所有元素“相乘”构成的集合，也可类似地定义右陪集Ha。例6-23：求Klien四元群K = {e, a, b, c}的子群H1={e}、H2 = {e, a}、H3=K的所有左陪集。 解：xH1：eH1={e}, aH1={a}, bH1={b}, cH1={c} ——4个xH2：eH2={e, a}, aH2={e, a}, bH2={b, b*a=c}, cH2={c*a=b, c} ——2个xH3： eH3={e, a, b, c}, aH3 = bH3= cH3={e, a, b, c} ——1个——观察陪集的特点：非空，不相交，合起来是K。 6.7 群的陪集分解-陪集例6-24：设G = ???，则G是由平面上所有点组成的集合。G上的+运算定义为： x1, y1 + x2, y2 = x1+x2, y1+y2则G,+是具有幺元0,0的阿贝尔群。若H = {x, y?y = x} ，说明子群H, +的左陪集。解： H是过坐标原点的一条直线，任何一个左陪集x0, y0H就是对H的一次平移，是过x0, y0点的直线。YXH = 0, 0Hx0, y0x0, y0H0,0Try it：可以定义其他的H吗？ 6.7 群的陪集分解-陪集长见识：(1) H本身也是一个左陪集，即eH。(2) 因为e∈H ，对?a∈G，有a = a?e∈aH。——可以利用子群产生陪集，进而对群进行分解。定理：设H, ? 是群G, ? 的一个子群，则 (1) 对?a∈G ，有aH ? ?。 ——e∈H (2) 任意两个陪集，要么完全重合，要么不相交，即对?a, b∈G ，若aH ? bH，则aH ∩ bH = ?。 (3) ?aH = G。a∈G 6.7 群的陪集分解-陪集对?x∈aH，?h ∈H，使 x =a*h。因 aH∩bH ? ? ，?y∈aH∩bH，即?h1, h2∈H，使 y = a*h1 = b*h2，即a = b*h2*h1-1代入，x =a*h = (b*h2*h1-1)*h = b*(h2*h1-1*h)。即x∈bH，故aH ? bH。同理，bH ? aH 。证明： (1) 因幺元 e∈H ， 有a = a*e∈aH ，即aH ? ? 。(2) ?若aH∩bH ? ?，必有aH = bH。(3)? aH ? G是自然的。对x∈G，因x∈xH，即x∈? aH，故G ?? aH。等式成立。a∈Ga∈Ga∈G长见识：定理说明，由子群H的所有左陪集构成群G的划分。 6.7 群的陪集分解-陪集证明：证明： a-1*b∈H ? aH = bH 。由 a-1?b∈H ，?h∈H ，使a-1 ? b = h有b = a ? h∈aH。又因b∈bH ，即b∈aH∩bH，即aH与bH相交，由定理得aH = bH 。例6-25：设H, ? 是群G, ? 的子群，对?a, b∈G，a-1 ? b∈H 当且仅当 aH = bH 。aH = bH ? a-1 ? b∈H 。由 aH = bH，?h∈H ，使a = a