工科离散数学课件 第五章 5_2_函数的逆与复合(2) - 函数复合.pptx

5.2.2 函数复合5.2 函数的逆与复合-函数复合1. 函数复合问：函数的复合与一般关系复合有何差异？为什么这么做？答：内涵一致，但 g 和 f 的书写顺序相反，也称为g 对f 的左复合。——这种记法的好处是：g°f (x) = g(f (x))。[函数(左)复合] 设函数 f：X→Y，g：Y→Z，则f 与g 的复合（合成）为g°f = {x, z | x?X ∧z?Z∧?y(y?Y∧y = f (x)∧z = g(y))} ——高数：设函数 f：X→Y，g：Y→Z，g 与f 的复合g(f(x))=g°f(x)，Dg∩Rf ? ?，谁与谁复合？——关系：f 与g复合（x, y+y, z）；函数：维持f 与g复合，但写作g°f。 —— f°g(x)=?Rf Dg 定理：两个函数 f 和 g 的复合 g°f 是一个函数。5.2 函数的逆与复合-函数复合证明： 设f：X→Y，g：Y→Z， 则g°f ：X→Z。? 定义域为X。 ——每个x都有像z对?x ?X ，因 f 是函数，有y ?Y，使f (x) = y。因为g 是函数，有z ?Z ，使g(y) = z。于是，有g°f (x) = g(f (x)) = g(y) = z 即g°f 的定义域充满X。 ? 单值性。 ——1个x不能映射成2个z若g°f (x) = z1， g°f (x) = z2，即g(f (x)) = z1， g(f (x)) = z2由 g 的单值性，有z1 = z2 。 5.2 函数的逆与复合-函数复合例5-5：求下述函数的复合函数。(1) A = {1, 2, 3}，B = {p, q}，C = {r, s}。 f：A→B ， g：B→C且有 f = {1, p,2, p,3, q}， g = {p, s,q, s}求 g°f 。(2) f, g, h???，且有f (x) = x+3， g(x) = 2x+1，h (x) = x/2 。求 f°g°h 。(3) f, g??? ，且有 f (x) = { ，g(x) = x+2求 f°g 和 g°f。x2 , x?3-2 , x3 5.2 函数的逆与复合-函数复合解：(1) A = {1, 2, 3}，B = {p, q}，C = {r, s}。 f：A→B ， g：B→C且有 f = {1, p,2, p,3, q}， g = {p, s,q, s}求 g°f 。g°f = {1, s,2, s,3, s}(2) f, g, h???，且有f (x) = x+3， g(x) = 2x+1，h (x) = x/2 。求 f°g°h 。f°g°h (x) = f(g(h (x))) = g(h (x))+3 = 2h (x)+4 = x+4x2+2 , x?30 , x3g°f(x) = g(h(x)) = h(x)+2 = { x2 , x?3-2 , x3(3) f, g??? ，且有 f (x) = { ，g(x) = x+2，求 f°g 和 g°f。f°g(x) = f(g(x)) = { = { g(x)2 , g(x)?3-2 , g(x)3(x+2)2 , x?1-2 , x1 2. 函数复合的性质5.2 函数的逆与复合-函数复合定理： 函数复合运算满足结合律，即(f°g)°h = f°(g°h) 。 定理：设 g°f 是一个复合函数，则 (1) 若f 和g 是满射，则g°f 是满射。 (2) 若f 和g 是单射，则g°f 是单射。 (3) 若f 和g 是双射，则g°f 是双射。证明：设函数 f：X→Y，g：Y→Z ，则g°f：X→Z 。 ——每个z都有g°f的原像x(1) 对?z?Z ，因g 是满射, ?y?Y, g(y) = z 。因f 是满射, ?x?X， f (x) = y。于是， g°f (x) = z，故g°f 是满射。 5.2 函数的逆与复合-函数复合(2)若f 和g 是单射，