工科离散数学课件 第五章 5_1_从关系到函数(3) - 函数的性质与特殊函数.pptx

5.1.3 函数的性质与特殊函数5.1 从关系到函数-函数的性质与特殊函数1. 简单函数[常函数] 设有函数f：X→Y，若?y0?Y，使对?x?X，有f (x) = y0。[恒等函数] 集合X上的恒等关系IX 称为 X→X 的恒等函数。2. 特殊函数[满射]若有函数f：X→Y ，对?y?Y都可在X 中找到原像，使f(x) = y，即f (X) = Y： f 为满射??y(y?Y→?x(x ?X∧f (x) = y))满射=满映射=到上映射=映上。yxf 我是红火蚁 [单射] 若有函数f：X→Y，在X 中没有两个元素有相同的像： f 为单射??x1?x2 ((x1?X∧x2?X∧x1 ?x2)→f (x1) ? f (x2))单射=入射=一对一映射。5.1 从关系到函数-函数的性质与特殊函数——单射可用逆否命题等价描述： f 为单射??x1?x2 ((x1?X∧x2?X∧f (x1) = f (x2))→x1 = x2)问：函数的单值性与单射是同义的吗？答：否。函数的单值性是指一个x不能映射成2个y，而单射函数是指2个x不能映射成一个y。[双射] 若函数 f：X→Y 既是满射又是单射，则称f 为双射或一一对应。 Try it：若X 与Y 是有限集，X与Y存在满射、单射和双射，说明它们的元素个数有何关系？5.1 从关系到函数-函数的性质与特殊函数答：若存在X 到Y 的满射，必须有足够多的原像 x，即 |X| ≥ |Y|。若存在X 到Y 的单射，必须有足够多的像 y，即 |Y| ≥ |X|。若存在X 到Y 的双射，一定有 |X| = |Y| 。(a) 满射 (b) 单射 (c) 双射M1M4M2M3M5W1W4W2W3M1M4M2M3W1W4W2W3W5M1M4M2M3M5W1W4W2W3W5 5.1 从关系到函数-函数的性质与特殊函数例5-3：判断下述函数是否为单射、满射和双射？(1) f：?→?， f (x) = x2 + 2x - 1 (2) f：?+→?， f (x) = lnx(3) f：?→? ， f (x) =?x?，?x?为不大于x 的最大整数(4) f：?→?， f (x) = 2x-1 (5) f：?+→?+， f (x) = (x2+1)/x = x+1/x=y(6) f：?→?， f (x) = x3(7) f：<???>→<???>， f (<x, y>) = <x + y, x - y> = <a, b>(8) f：?→?，f(x) = { (9) f：?→{0,1}， f(x) = { (10) A为集合， f：A→ ?(A)， f (x) = {x} {x,y}? ??(11) R为集合A上的等价关系 f：A→A/R， f (a) = [a]R | [a]R | =1?1, x为奇数0, x为偶数1, x为奇数0, x为偶数 解:(1) f：?→?， f (x) = x2 + 2x - 1 一般函数。开口向上的抛物线。 5.1 从关系到函数-函数的性质与特殊函数(2) f：?+→?， f (x) = lnx 单射。部分实数无原像（定义域不是?）。(3) f：?→? ， f (x) =?x? 满射。[n, n+1)内的实数都是n的原像。(4) f：?→?， f (x) = 2x-1 双射。(y-1)/2为y的唯一原像。(5) f：?+→?+， f (x) = (x2+1)/x一般函数，即f (x) = x+1/x 。因x和1/x有相同的函数值，不是单射。当方程 x2-yx+1 = 0无解时，y没有原像，不是满射。 (6) f：?→?， f (x) = x3双射。5.1 从关系到函数-函数的性质与特殊函数(7) f：<???>→<???>， f (<x, y>) = <x + y, x - y>双射。对<u, v>，<(u+v)/2, (u-v)/2>是其唯一的原像。1, x为奇数0, x为偶数(8) f：?→?，f(x) = { 一般函数。除了0、1之外的整数都没有原像。1, x为奇数0, x为偶数(9) f：?→{0,1