工科离散数学课件 第五章 5_3_集合的基数(4) - 基数比较.pptx

5.3.4 基数比较5.3 集合的基数-基数比较——双射的构造相对困难，代之以构造单射。[|A| ≤ |B|] 若存在集合 A 到 B 的单射，称 A 的基数不大于B的基数，即|A| ≤ |B|。Cantor-Schroder-Bernstein定理：对任意集合A和B，若|A|≤|B|且|B| ≤ |A|，则 |A| = |B| 。[|A| < |B|] 若仅存在集合 A 到 B 的单射而不存在双射，称A的基数小于B的基数，即|A| < |B|。——定理说明，可以通过构造两个单射 f：A→B和 g：B→A 来证明集合 A 与 B 具有相同的基数。 5.3 集合的基数-基数比较例5-11： 证明[0,1]与[0,1)有相同的基数。例5-12：证明 |??(0,1)| = ?。证明：因?+ 和(0,1)的基数都是?。先构造单射 f：??(0, 1)→ ? +，满足： f (<n, x>) = n+x， x?? 有 |??(0, 1)| ≤ ? 。再构造单射 g：(0,1)→??(0,1)，满足： g(x) = <0, x> 有 ?≤ |??(0,1)| 。证明：分别构造单射 f：[0,1)→[0,1]和g：[0,1]→[0,1) ，满足 x f (x) = x，g(x) = 2结论成立。 ——(0,1)→[0, ?]?[0,1) 5.3 集合的基数-基数比较定理：若A是有限集，则 |A| ≤ ?0 ≤ ?；若 A 是无限集，则 ?0 ≤ |A| 。答：因为任何集合的幂集的基数总是大于原集合的基数。因此，不存在最大的集合和最大的基数。Cantor定理：若 A 是一个集合，则 |A| < |?(A)|。问：Cantor定理说明了什么？