工科离散数学课件 第六章 6_7_群的陪集分解(2) - 拉格朗日定理.pptx

6.7 群的陪集分解-拉格朗日定理6.7.2 拉格朗日定理 观察：在群中，h1 = h2 与a ? h1= a ? h2是等价的说法，而这意味着子群H与其左陪集aH具有相同的基数。证明：(1) 构造映射 f：H→aH，使对?h∈H，有f (h) = a ? h则对?h1, h2∈H ，若f (h1) = f (h2) ，即a?h1=a?h2，有h1= h2，故f 是单射。对?y∈aH，必有h∈H，使y = a?h = f (h)，说明f 是满射。故f 是双射，结论成立。拉格朗日（Lagrange）定理：若H, ? 是群G, ?的一个子群，则(1) 对?a∈G，有 |aH| = |H| 。(2) 若G是有限群，且 |G| = n，|H| = m ，则m能整除n。 6.7 群的陪集分解-拉格朗日定理(2) 因为{aH}是G的划分，即G可被划分为有限个个数与|H|相等的子集，故|H|必能整除|G| 。推论：任何质数阶群不存在非平凡子群。证明：因为子群的阶必须是原群阶数的因子，而质数除了1和自身之外没有其他因子。 6.7 群的陪集分解-拉格朗日定理推论：设G, ? 是n阶有限群，对?a∈G，若|a| = r，则必有 r | n，且 an = e。特别地，质数阶群G, ? 必是循环群，且非幺元的任何一个元素都是生成元。证明： 记 H = {a, a2, a3, …, ar-1, ar = e}，H, ?显然是G, ?的循环子群。由拉格朗日定理，有 r | n。于是，有整数m使得 n = mr，故 an = amr = (ar)m = e若n为质数，G, ?只能有平凡子群，即 r = 1或r = n 。故G, ?必是循环群且 G = a。