工科离散数学课件 第三章 3_1_集合的概念和表示方法(1) - 集合与元素.pptx

集合论基础第三章集合论是现代数学的基础，其开创性工作来自十九世纪末的德国数学家Georg Cantor。为了消除悖论， Zermelo策等建立了公理化集合论与抽象集合论。 3 集合论基础——康托尔，德国数学家，集合论的创始者。1845年生于圣彼得堡，因不被理解患精神分裂症，1918年病逝于哈雷。康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超穷数的兴趣。康托尔肯定了无穷数的存在，并对无穷问题进行了哲学的讨论，最终建立了较完善的集合理论——20世纪最伟大的数学创造，为现代数学的发展打下了坚实的基础。——哥白尼的“日心说”，罗巴切夫斯基的“非欧几何学”都曾受到抵制。——黄金年龄要敢闯敢试，科学问题不盲从：大胆假设，小心求证。Georg Cantor 3.1 集合的概念和表示方法集合有外延和内涵两种表示法，但内涵法是一种更有效的数学表达，不仅体现了建模思想，也是谓词逻辑的直接应用，是建立严格论证的基础。 3.1.1 集合描述3.1 集合论基础-集合描述1. 集合与元素[集合(set)]若干可区分的事物(对象)组成的整体。 ——难以精确定义[属于&不属于]若a是组成集合A的对象，称a是A的元素，或a属于A，记作 a∈A ——谓词/命题否则，a不是集合A的元素，称作a不属于A，记作 a?A。长见识：(1) a?A? ┐(a∈A)。 ——a?A是┐(a∈A)的简单表示(2) 集合中可以包含任何对象，但元素不重复、无次序。——Python中如何去掉一组值中的所有重复元素？[有限集]若组成一个集合的元素个数是有限的称其为有限（穷）集合，否则称为无限（穷）集合。有限集合A的元素个数用|A|表示。——|A|、|A|2、||A||? 2. 集合表示3.1 集合论基础-集合描述(1)枚举元素：说明集合中“有什么”，列出所有元素。X = {1, 2, 3}，M = {花, 水, 空气}枚举元素法 = 外延法 = 列举法。 ——只能表示有限集(2)描述法：说明集合元素“是什么”，用谓词刻画元素的性质。A = {x?p(x)}，p(x)：x是奇数A = {x?x是奇数}——对于任何一个个体x0，若谓词填式p(x0)为真，则x0是A的元素，否则x0不是A的元素。描述法=内涵法=叙述法。 3. 外延性公理外延性公理：两个集合相等当且仅当它们有相同的元素。——集合仅由元素确定。只要两个集合元素一样就是一个集合，只是外观不同：{1, 2, 3}{2, 3, 1}{x?x是方程(x-1)(x-2)(x-3) = 0的根}3.1 集合论基础-集合描述4. 常见集合自然数集? = {0, 1, 2, …}；整数集? = ? ={…,-2, -1, 0, 1, 2, …}；正整数集? + = ? + = {1, 2, …}；有理数集? ={p/q?p??∧q??∧q ≠ 0}；实数集?；正实数集?+；复数集?。 ——约定俗成