工科离散数学课件 第五章 5_3_集合的基数(1) - 集合等势与基数.pptx

5.3 集合的基数有限集合的元素多少称为个数，但无限集称为“基数”而非个数，否则，就会产生无法解释的现象。基数刻画了集合中的元素的“稠密”程度。基数是对集合分类的结果：所有等势的集合被划入同一类，而集合所属的类即为该集合的基数。 5.3.1 集合等势与基数5.3 集合的基数-集合等势与基数——伽利略悖论：有无穷多的单人客房，且已客满。当新来一位客人时，所有住客顺次后移，腾出第一间客房住进新客人：|?+ | = |?| ？1. 用基数衡量集合的元素多少[基数] 一个集合A中含有元素多少的度量称为集合的基数，记作 |A|。基数=势=浓度。|A| = card A = K[A] = =A 。长见识：对于有限集，基数就是其元素个数。集合的基数或势越大，含有的元素越多。 5.3 集合的基数-集合等势与基数问：如何判别两个集合含有元素的多少是一样的？[等势] 若集合A 和B 之间存在双射，则称A 与B 等势，记作 |A| = |B|，或card A = card B，A~B（将等势作为一种关系运算看待）。等势=基数相同=对等=同浓。答：建立一一对应。示例： A = {1, 2, 3}，B = {a, b, c}，构造双射 f：X→Y，满足：f (1) = a， f (2) = b， f (3) = c故|A| = |B| 。 例5-7：证明自然数集 ?与非负偶数集M 等势。5.3 集合的基数-集合等势与基数证明：构造函数 f：?→M，满足： f (n) = 2n，n ??因为f 是双射，故 |?| = |M| 。长见识：常见的等势集合与构造双射函数的待定系数法：(1) 两个区间内的实数集之间，线性函数； ——[a, b]~[c, d](2) (-∞, +∞) 与(-∞, +∞) 、(-∞, 0) 、(0, +∞)之间，lnx、ex等函数；——?~(0, 1)(3)有限区间与无穷区间之间，tanx、arctanx等函数。 y1=f(x1)y2=f(x2)——y = f(x)=ax+b：——?~(0, 1)：y = f(x)=aarctan(x)+b： 0 = f(-∞)=aarctan(- ∞ )+b=a(-π/2)+b， 1 = f(+∞)=aarctan(+∞ )+b=a(π/2)+ba = 1/ π，b = 1/2 2. 基数是什么？5.3 集合的基数-集合等势与基数——两个能够建立元素间一一对应的集合是等势或称对等集合。例如3个人的集合和3个数的集合对等。——根据对等关系对集合进行分类，凡是互相对等的集合划入同一类。任意一个集合A所属的类就是集合A的基数。当A与B同属一个类时，二者就有相同的基数，即|A| = |B|。否则，它们的基数不同。——若空集?的基数记作0，含有一个元素的集合的基数记作1={?}，两个元素的集合的基数记作2 = {?, {?}} = {0, 1}，如此类推，则有限集的基数与自然数一致，是传统概念下的“个数”。对于无穷集，没有个数，但有基数。——故集合的基数是类别，是集合，是个数概念的推广。 5.3 集合的基数-集合等势与基数1. 若A是集合组成的集合，A上的等势关系是等价关系吗？——是。自反性：对每个集合X，存在双射IX：X?X。对称性：若X~Y，有双射f：X?Y。 f-1：Y?X是双射，Y~X。传递性：若X~Y，Y~Z，有双射f：X?Y，g：Y?Z。 g°f：X?Z是双射，X~Z。