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n阶正交矩阵的正交乘用法 在矩阵分解理论中，矩阵的积分分解尤为重要。任何n级正交矩阵（可逆）可以创建几个初等矩阵的积分分解，这就是积分分解。在这项工作中，我们的目标是使用有限的n级正交矩阵来执行有限的镜像矩阵的积分，即正交矩阵的正交因子分解。 在中,我们认识了n维欧氏空间的正文变换关于标准正交基的矩阵——正交矩阵的一一对应关系及相应性质.在§8.3习题7中有结论:n维欧氏空间的每一正交变换都可表成若干个镜面反射的乘积,我们将用矩阵语言给出平行定理——任一n阶正交矩阵都可写成有限个镜象矩阵的乘积,并深入讨论因子个数与阶数n及所给正交矩阵的行列式的关系及镜象矩阵的性质.本文所用述语及符号同. 定义1正交变换略(见P321定义或定理8.3.1). 定义2一个n阶实矩阵U叫做一个正交矩阵,如果UU′=U′U=I(见P317). 定义3设V是一个n维欧氏空间,α∈V是一个非零向量,定义 τ(ξ)=ξ-2?ξ?α??α?α?α?ξ∈V 则τ是V的一个正交变换,且τ2=L(L为单位变换)称τ是由向量α决定的一个镜面反射. 定义4令上述V=Rn,设u=(u1,u2,…,un)′∈Rn且满足u′u=1,称n阶方阵H=In-2uu′ 为实镜象矩阵(见P56). 引理1 设U为正交矩阵,则U的行列式为±1(见P320,习题10(1)). 若|U|=1,称U为第一类正交矩阵;若|U|=-1,称U为第二类正交矩阵. 引理2 设V为n维欧氏空间,则 1)对于V中任意两个不同的单位向量α,β存在一个镜面反射τ,使τ(α)=β. 2)V的每一正交变换σ都可以表成若干个镜面反射的乘积.(见P329习题7). 定理1 设H为n阶镜象矩阵,则1)H为正交矩阵;2)H为对称矩阵;3)H为对合矩阵;4)H的行列式为-1;5)n维欧氏空间的任一镜面反射关于任意标准正交基的矩阵必为镜象矩阵,反之任一镜象阵可唯一确定一个镜面反射. ,2,n2,n2,n2,1,2,2,2,2,n2,2,2,2,2,2,2,2,2,n2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,n2,2,2,2,n2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2 由定义4,1)、2)、3)显然成立. 4)令u=(u1,u2,??un)′?∑i=1u2i=1|Η|=|Ιn-2uu′|=|1-2u21-2u1u2?-2u1un-2u2u11-2u22?-2u2un????-2unu1-2unu2?1-2u2n|=|12u12u2?2unu110?0u201?0?????un00?1|=|1-nΣi=12u2i2u1?2un01?1????00?1|=1-nΣi=12u2i=1-2nΣi=1u2i=-1,(nΣi=1u2i=1) 5) 设V是一个n维欧氏空间,由定义3,若取γ1=α|α|,并将其扩充成V的一个标准正交基{γ1,γ2,…γn},则易证镜面反射τ关于此基的矩阵为 Η=(-11?1) 由定义4,令H=In-2uu′,再令u=(x1…xn)′ 易求得u=(1,0,…,0)′,故H为由单位向量u决定的镜象阵,再设τ关于任意标准正交基{α1,…,αn}的矩阵为A,U为由{α1,…,αn}到{γ1,…,γn}的过渡矩阵,有U-1AU=H,有A=UHU-1=UHU′(*),其中H、U皆为正交矩阵,显然A为正交矩阵,又A′=(UHU′)′=A,A为对称阵,且|A|=|U||H||U′|=|H|=-1,还可证A2=I,即1)、2)、3)、4)被满足,又由(*)式,A=UHU-1=U(In-2uu′)U-1=UInU-1-2(Uu)′(u′U-1)=In-2uu′,故A为镜象矩阵. 反之,设H=(hij)为任一镜象矩阵,由正交矩阵性质,H每一列(行)向量均为单位向量,有 |hij|≤1;再令uu′=12(Ιn-Η)即 (x21x1x2?x1xnx1x2x22?x2xn????xnx1xnx2?x2n)=12(1-h11-h12??-h1n-h211-h22?-h2n????-hn1-hn2?1-hnn) 由矩阵相等,有x2i=12(1-hij)((1-hij)＞0)又xiyi=-12hij.可解出两个互为相反的单位向量±u=(x1…xn)′,由±u可确定同一镜面反射τ:τ(ξ)=ξ-2〈ξ,u〉u,τ1(ξ)=ξ-2〈ξ1,-u〉(-u)=ξ-2ξ,uu,于是τ=τ1. 以上说明n维欧氏空间的镜面反射与镜象矩阵一一对应,由上证可知,若H=In-2uu′为镜象矩阵,则有1)、2)、3)、4)、5)同时成立,其中1)、2)、3)任两条可推出另一条成立,反之,一个n阶实矩阵H如同时满足1)、2)、3)、4)、5)(或1)、2)、4)、5))才可说H为镜象矩阵. 定理2 任一