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n阶行列式的计算 列方程的计算是一个重要的问题，也是一个复杂的问题。对于低行列方程，可以使用定义、公式、性质和其他方法进行计算。然而，一般的n阶列方程计算非常困难，因此有必要研究n阶列方程的计算方法。在本文中，我们介绍了行列式的计算方法。 一、 特殊行列法 1. 00005. 当行列式中含零元较多时, 定义法可行. 例1 计算n级行列式 D=|αβ0?000αβ?00??????000?αββ00?0α|. 解:按定义, 易见j1=1, j2=2, …, jn=n, 或j1=2, j2=3, …, jn-1=n, jn=1.得D=αn+ (-1)n-1βn+1 2. 计算n级行列式dn 利用行列式性质, 把行列式化成三角形行列式. |α11α12?α1n0α22?α2n????00?αnn|=|α110?0α12α22?0????αn1αn2?αnn|=α11α22α33?αnn 例2 计算n级行列式 Dn=|123?n1x+13?n12x+1?n?????123?x+1| 解:将Dn的第i (i=2, 3, …, n) 行减去第一行化为三角形行列式, 则 Dn=|123?n0x-10?000x-2?0?????000?x-n+1|=(x-1)(x-2)?(x-n+1) 3. anib1b2bn0aa 例3 计算行列式 D=|a0b1b2?bnc1a10?0c20a2?0?????cn00?an|(ai≠0,i=1,2,?,n) 解:将D的第i+1列乘以(-Ciai)都加到第1列 (i=1, 2, …, n) , 得 D=|a0-n∑i=1biciaib1b2?bn0a10?000a2?0?????000?an|=(a0-n∑i=1biciai)n∏i=1ai 4. xn3xnnxn3xnn3xnn3xnn3xn3xnn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xnn3xnn3xnn3xnn3xnn3xnn3xnn3xnn3xnn3xnn3xnn3xn3xnn3xnn3xn3xnn3xn3xnn3xn3xnn3xn3xnn3xn3xn3xnn3xn3xn3xnn3xn3xn3xn3xnn3xn3xn3xn3xn3xn3x D=|111?1a1a2a3?ana11a22a23?a2n?????an-11an-12an-13?an-1n|=∏1≤ji≤n(ai-aj) 例4 计算n阶行列式 D=|111?1x21x22x23?x2nx31x32x33?x3n?????xn1xn2xn3?xnn| 解:利用D构造一个n+1阶范德蒙行列式 g(x)=|11?11x1x2?xnxx21x22?x2nx2?????xn1xn2?xnnxn| 多项式g (x) 中x的系数为 (-1)n+3D, 而g (x) 又是一个范德蒙行列式, 展开后x的系数为(-1)n-1[x2x3?xn+?+x1x2?xn-1]∏1≤ji≤n(xi-xj), 两者应相等, 故D=[x2x3?xn+?+x1x2?xn-1]∏1≤j≤i≤n(xi-xj) 当xx2…xn≠0时, 还可写成 D=x12?xn(1x1+?+1xn)∏1≤j≤i≤n(ai-aj) 二、 建立三角形行列式 若行列式中某列 (行) 加上其余各列 (行) , 使该列 (行) 元素均相等或出现较多零, 从而简化行列式计算的方法称为连加法. 例5 计算n阶行列式 D=|xa?aax?a????aa?x| 解:它的特点是各列元素之和为 (n-1) a+x, 因此把各行都加到第一行, 然后第一行再提出 (n-1) a+x, 得 D=[(n-1)a+x]|11?1ax?a????aa?x| 将第一行乘-a分别加到其余各行, 化为三角形行列式, 则 D=[(n-1)a+x]|11?10x-a?0????00?x-a|=[(n-1)a+x](x-a)n-1 三、 x4a3 为了计算行列式, 有时需要将它的阶数放大, 使升阶后的行列式易于计算, 从而求出原行列式.这种方法叫加边法, 也叫升阶法. 例6 计算n阶行列式 D=|a1xx?xxa2x?xxxa3?x?????xxx?an| 解:加边得 D=|1xx?x0a1x?x0xa2?x?????0xx?an| 第一行乘