基本不等式(很全面)教学内容.doc

此文档仅供采集于网络，若有侵权请联系网站删除 基本不等式 【知识框架】 1、基本不等式原始形式 （1）若a,b R，则a2 b2 2ab 2 2 （2）若a,b R，则ab a b 2 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若a,bR*，则ab2ab 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若a,b R* ，则ab ab 2 a 2 （2）若a,b R * ，则ab b 2 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 特别说明：以上不等式中，当且仅当ab时取“=” 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 1）若 2）若  x 0 ，则x 1 x 1时取“=”） 2(当且仅当 x x 0 ，则x 1 x 1时取“=”） 2(当且仅当 x （3）若ab 0，则a b 2 (当且仅当a b时取“=”） b a （4）若a,b R，则ab (a b)2a2 b2 2 2 （5）若a,b * 1 a b a2 b2 R，则 1 ab 2 2 1 a b 特别说明：以上不等式中，当且仅当 ab时取“=” 6、柯西不等式 （1）若a,b,c,dR，则(a2 b2)(c2 d2) (acbd)2 只供学习与沟通 此文档仅供采集于网络，若有侵权请联系网站删除 （2）若a1,a2,a3,b1,b2,b3 R，则有： (a12 a22 a32)(1b12 b22 b32)(a1b1a2b2a3b3)2 3）设a1,a2,,an与b1,b2,,bn是两组实数，则有 (a12a22an2)(b12b22bn2)(a1b1a2b2anbn)2 【题型概括】 题型一：利用基本不等式证明不等式 题目1、设a,b均为正数，证明不等式:ab≥2 11 ab 题目2、已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2b2c2abbcca 题目3、已知abc 1，求证：a2 b2 c21 3 题目4、已知a,b,cR，且abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc 题目5、已知a,b,c R，且a 1 1 1 1 bc1，求证： 1 18 a b c 只供学习与沟通 此文档仅供采集于网络，若有侵权请联系网站删除 题目6、（新课标Ⅱ卷数学（理）设a,b,c均为正数,且abc 1,证明: 1 a2 b2 c2 (Ⅰ)abbcca ;(Ⅱ) c 1. 3 b a 题型二：利用不等式求函数值域 题目1、求以下函数的值域 （1）y3x21 （2）yx(4x) 2x2 （3）yx 1(x0) （4）yx 1(x0) x x 题型三：利用不等式求最值（一）（凑项） 1、已知x 2 4 的最小值； ，求函数y2x4 2x 4 变式1：已知x 2，求函数 4 的最小值； y2x 2x 4 只供学习与沟通 此文档仅供采集于网络，若有侵权请联系网站删除 4 变式2：已知x2，求函数y2x的最大值； 2x4 4x 变式3：已知x2，求函数y2x的最大值； 2x4 练习：1、已知x 5，求函数 y4x2 1 的最小值； 4 4x 5 题目2、已知x 5 y4x2 1 的最大值； ，求函数 4x 4 5 题型四：利用不等式求最值（二）（凑系数） 题目1、当时，求yx(82x)的最大值； 变式1：当时，求y4x(82x)的最大值； 只供学习与沟通 此文档仅供采集于网络，若有侵权请联系网站删除 变式2：设0x 3 4x(32x)的最大值。 ，求函数y 2 题目2、若0x2，求yx(63x)的最大值； 变式：若0x4，求yx(82x)的最大值； 题目3、求函数y2x152x(1 x 5)的最大值； 2 2 变式：求函数y4x3114x( 3 x 11 )的最大值； 4 4 题型五：巧用“1”的代换求最值问题 题目1、已知a,b0,a2b1，求t11的最小值； ab 只供学习与沟通 此文档仅供采集于网络，若有侵权请联系网站删除 变式1：已知a,b 0,a2b2，求t 1 1的最小值； a b 变式2：已知x,y0,2 8 1，求xy的最小值； x y 变式3：已知x,y 0，且1 1 9，求x y的最小值。 x y 变式4：已知x,y 0，且1 9 4，求x y的最小值； x y 变式5： （1）若x,y0且2xy1，求11的最小值； xy （2）若a,b,x,yR且ab1，求xy的最小值； xy 变式6：已知正项等比数列 an知足：a7 a62a5，若存在两项am,an，使得aman 4a1 1 4 ，求 n m 的最小值； 只供学习与沟通 此文档仅供采集于网络，若有侵权请联系网站删除 变式7：若正数x，y知足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是（ ） 24 28 A.5 B.5 C．5 D．6 变式8：设a 0,b0.若 3是3a与