高中数学开放题赏析.doc

高中数学开放题赏析 题目1： 某选择题已知条件缺漏，原题为：已知α、β均为锐角，且sinα－sinβ=－， _______，则tg（α－β）的值为 （ ） A、 B、 C、－ D、－ 其中 为缺少部分，试根据所附答案为（C），推断并补足所缺的条件。 分析：根据所附答案知tg（α－β）=－， 解得tg，或tg， 由已知sinα－sinβ＝－ 即， 若， 则得， 即cosα+cosβ=－， 此与α、β均为锐角矛盾。 若， 则得 即cosα+cosβ=， 这一结果与另一已知条件sinα－sinβ=－在形式上了比较接近。 故所缺失的条件可能为cosα+cosβ=。 评析： 此类题可模仿分析法的解题方法，将结果加入条件，逆推导出需要寻求的条件，但一般情况下答案不惟一。 方法探索性开放型问题 这是一类条件、结论都不明确的问题，使得解题方法是开放的，需要探索出合适的解题方法，又需要进行严格的推理论证。 题目5： 已知f（θ）=sin2θ+sin2（θ+α）+sin2（θ+β），其中α、β适合0≤α＜β≤π的常数，试问α、β取何值时，f（θ）的值恒为定值。（日本御茶水女子大学入学试题） 分析一：要使f（θ）的值不随θ的变化而变化，即函数f（θ）为常值函数，则可赋予特殊的自变量值探求。 解一：令θ=0，得 f（0）=sin2α+sin2β 依题意可设f（0）===m，（m为常数），则由f（0）+=2m，解得m=。 再代入f（0）=== 解得。 分析二：要使f（θ）的值不随θ变化而变化，可以通过分离主变量的方法，视主变量的系数为零，这样就可以把问题转化。 解二： = = ∵ f（θ）恒为定值，即f（θ）的值与θ无关。 ∴ 1+2cos（α+β）cos（α－β）=0 sin（α+β）cos（α－β）=0 ∴ sin（α+β）=0 考虑到0≤α＜β≤π，有0＜α+β＜2π， ∴ α+β=π ① ∴ cos（α－β）= ∵ －π≤α－β＜0， ∴ α－β=－ 　② ①、②联立可得：。 题目6： 某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元. （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）； (3 ) 使用若干年后，对机床的处理方案有两种： (i )当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床； (ii )当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床，问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由. 讲解：本例兼顾应用性和开放性, 是实际工作中经常遇到的问题. （1） =. （2）解不等式 ＞0, 得 ＜x＜. ∵　x∈N， 　∴　3 ≤x≤ 17. 故从第3年工厂开始盈利. （3）(i) ∵　≤40 当且仅当时，即x=7时，等号成立. ∴　到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30=114万元. (ii)　　y=-2x2+40x-98= -2（x-10）2 +102， 当x=10时，ymax=102. 故到2011年，盈利额达到最大值，工厂共获利102+12=114万元. 解答函数型最优化实际应用题，二、三元均值不等式是常用的工具.