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n元齐次线性方程组有解定理的应用
n个未知方程的齐次线性方程组拥有非零解的填充条件,系数行为零,但只有零解的充要条件为系数行的填充条件,而不是零。这一理论在高等数学领域得到了广泛的应用。例如,文献中列出了“非零解条件”在分析和几何中的应用,文献中列出了“非零解条件”在代数和几何中的应用。在这项工作中,我们试图应用齐次线性方程的解决方案,并使用齐次方程的解决方案。在中学数学解算中的应用中,n元齐次线性方程组的非零解需求被应用于中学数学。
1 .方程有唯一零解
n元齐次线性方程组:
其系数矩阵为:
根据齐次线性方程组有解定理,该方程组一定有解,当D的秩等于n时,方程组有唯一零解;当D的秩小于n时,方程组有非零解.而若是n个未知数n个方程的方程组有非零解的充要条件则是系数行列式等于零,只有零解的充要条件为系数行列式不为零.
2 采用齐次线性方程组理论
下面给出n个未知数n个方程的方程组有解定理在中学数学中证明不等式、整除问题和三角恒等式三个方面的应用.
2.1 -alg5
例已知log215=a, log521=b, log335=c, log27=d,
求证:bc+ad (b+c)
证明:∵log215=a, ∴lg2-alg3-alg5=0,同理将其他三个式子展开得非齐次线性方程组:
即知 (lg2, lg3, lg5, lg7) 是关于 (x, y, z, w) 的齐次线性方程组
化简得:bc+ad (b+c) =1-2abcd
又因为2abcd=2log715·log521·log335·log72
结论:该题如果直接代入证明难度较大,已知给出了四个未知数的方程,要证明的问题是bc+ad (b+c) 与3/4的关系,而根据方程组有非零解条件恰好可以找到bc+ad (b+c) ,从而可将问题转化.
2.2 .2.2水平上的零解
例已知f (x5) +xg (x5) +x2h (x5) +x3h (x5) = (1+x+x2+x3+x4) l (x) ,其中f (x) , g (x) , h (x) , k (x) , l (x) 均为多项式,
求证:x-1能整除f (x) , g (x) , h (x) , k (x) , l (x) .
证明因为x5-1= (1+x+x2+x3+x4) (x-1)
1+x+x2+x3+x4=0的四个根,则wk≠1,且wi≠wj, 于是:
又因为其系数行列式:
所以方程组只有零解,因此
f (1) =0, g (1) =0, h (1) =0, k (1) =0, l (1) =0, 即1为
f (x) =0, g (x) =0, h (x) =0, k (x) =0, l (x) =0的根,所以x-1能整除f (x) ,g (x) , h (x) , k (x) , l (x) ,得证.
结论:该题是将x-1能整除f (x) ,g (x) , h (x) , k (x) , l (x) 问题转化成了证明1为方程f (x) =0, g (x) =0, h (x) =0, k (x) =0, l (x) =0的解,从而证明方程组有只有零解,而构造的方程组显然只有零解.
2.3 构造方程的系数
例在△ABC中,已知a=ccos B+bcosC, b=acosC+ccosA, c=acos B+bcosA
求证: (1) c2=a2+b2-2abcosC;
证明根据已知条件构造方程组:
所以方程组有非零解 (cos A, cosB, 1)
即得c2=a2+b2-2abcosC
方程组有非零解 (a, b, c) ,所以
即得 (2) cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1
结论:根据问题利用已知灵活地构造齐次方程组,如 (1) 中只有a.b, c, cosC,构造的方程组的系数行列式中也只有a, b, c, cosC;而 (2) 中构造的方程组的系数行列式中根据结论只能含有cos A, cosB, cosC,这样就能将问题很好解决.
3 确定组合问题的方法
以上通过几个例子指出了如何利用已知条件与待解问题之间的关系构造齐次线性方程组的方法,说明了如何利用齐次线线性方程组有非零解的条件来解决中学数学中的若干棘手问题,从而使问题化难为易.从中不仅可以体会到创造性解题的乐趣,也体现了高等数学的理论在解决初等数学问题时的简洁和优点.
故:bc+ad (b+c) =1-2abcd
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