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§6 球面三角形的面积与欧拉公式
问题提出
如何计算球面三角形的面积?球面三角形面积与平面三角形面积有什么区别?
如何利用球面三角形面积公式证明球面多面体的欧拉公式?
如何利用球面知识证明简单多面体的欧拉公式?
球面二角形与三角形的面积
我们知道,若球面半径为 R,则球面面积为S ? 4? R2 ,现在考虑球面上的一个小区域:球面上由两个大圆的半周所围成的较小部分叫做一个球面二角形。
P
O
O
A
B
S
P
如图所示,大圆半周PAP? 和PBP? 所围成的阴影部分就是一个球面二角形。显然 P 和P?是对径点,大圆半周PAP 和PBP 称为球面二角
形的边。球面角?P ? ?P? 称为球面二角形的夹角。如果大圆弧AB 以P 和P?为极点, AB 所对的球心角为? ,则?P ? ?P? =? 。
例1 计算地球上一个时区所占有的面积。
OA
O
A
B
S
解 如图所示,设O 为地心,N、S 为北极点和南极点,A、
B 为赤道上两点,且?AOB ? 15 ,地球半径为R=6400km,
根据地理知识,地球共分为 24 个时区,一个时区跨越地球表面
15 ,所以由经线 NAS 与经线 NBS 围成的二角形就是一个时区,它所
占面积为地球表面积的 15
? 1 ,
360 24
即 ?
即 ? R2
? ?? ? 64002 ?85km2
24 6
如何计算一般球面二角形的面积?
二角形的夹角? ,就是平面 PA P?与PB P?所夹的二面角的平面角;
这个二角形可以看成半个大圆PAP? 绕直径 P P?旋转
? 角所生成;
球面二角形的面积与其夹角成比例。
设这个二角形得面积为U ,则
U ?
4? ? 2?
即 U ? 2?
抽象概括:球面上,夹角为? 的二角形的面积为U ? 2? 。如何计算球面三角形的面积?
设S ( ABC ) 表示球面三角形ABC 的面积,
对球面三角形ABC,分别画出三条边所在的大圆。
设A、B、C 的对径点分别是A?、B?、C? ,则
S ( ABC) ? S ( A?BC) ? 2?A
球面三角形 ABC +球面三角形 A?BC +球面三角形 ABC? +球面三角形 A?BC? 构成半个球面,所以
S ( ABC ) + S ( A?BC) + S ( ABC?) + S ( A?BC?) = 2? (1)
又因为
? S ( ABC) ? S ( A?BC) ? 2?A
?? S ( ABC) ? S ( AB?C) ? 2?B
?
??S ( ABC) ? S ( ABC?) ? 2?C
?
(2)
所以(2) ? (1)得到
2S ( ABC) ? 2( A ? B ? C) ? 2?
抽象概括
定理 6.1 球面三角形的面积等于其内角和减去? 。球面三角形的三个内角和大于? 。
即球面三角形 ABC 的面积S ? ?A ?? B ?? C ?? ,其中?A, ?B, ?C 是球面三角形ABC 的内角。
例2 计算以北京、上海、重庆为顶点的球面三角形的边长和的面积。
N B
C S
解 根据地理知识,北京位于北纬 39°56′、东经 116°20′, 上海位于北纬 31°14′、东经 121°29′,重庆位于北纬 29°30′、东经 106°30′的经纬度,地球半径为R=6400km,
如图所示,设N 为北极点,B 为北京,S 为上海,C 为重庆,
在球面三角形NBC 中, ?BNC ? 116.3 ?106.5 ? 9.8 ? 0.17 弧度,
NB ? 50.1? ? R ? 0.87 ? R ? 5.6?103 km ,
180
NC ?
60.5 ? ? R ? 1.06? R ? 6.8?103 km ,
180
解球面三角形NBC,有
cos BC ? ?cos0.87 ???cos1.06?? ?sin 0.87?? ?sin1.06 ??cos0.17 ?,
R
即 BC ? 0.24R ? 1.5?103 km ,
同理 BS ? 0.16R ? 1.0 ?103 km , CS ? 0.22R ? 1.4 ?103 km
解球面三角形BSC,有
cos0.22 ? cos0.24cos0.16 ? sin0.24sin0.16cos ?CBS ,
即 ?CBS ? 1.11弧度,
同理 ?BSC ? 1.34 弧度, ?SCB ? 0.71弧度,
所以球面三角形BSC 的面积为?1.11?1.34 ? 0.71?? ?R2 ? 7.5?105 km2 。
练习
证明:半径为 R 的球面上,夹角为 ? 的二角形的面积为
U ? 2? R2 。
证明:半径为 R 的球面上,球面三角形 ABC 的面积
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