现代控制理论试卷总结.docx

2012年现代控制理论考试一试卷 一、（10分，每题1分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，（√）1.由一个状态空间模型能够确立唯一一个传达函数。 （√）2.若系统的传达函数不存在零极点抵消，则其随意的一个实现均为最小实现。 （×）3.对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也必定是输出能控的。 （√）4.对线性定常系统xAx，其Lyapunov意义下的渐近稳固性和矩阵A的特点值都拥有负实部是一致的。 （√）5.一个不稳固的系统，若其状态完整能控，则必定能够经过状态反应使其稳固。 （×）6.对一个系统，只好选用一组状态变量； （√）7.系统的状态能控性和能观性是系统的结构特征，与系统的输入和输出没关； （×）8.若传达函数G(s)C(sIA)1B存在零极相消，则对应的状态空间 模型描绘的系统是不可以控且不可以观的； （×）9.若一个系统的某个均衡点是李雅普诺夫意义下稳固的，则该系统在随意均衡状态处都是稳固的； （×）10.状态反应不改变系统的能控性和能观性。 二、已知以下图电路，以电源电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容中的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R2上的电压为输出量的输出方程。（10分） 解：（1）由电路原理得： 二．（10分）图为R-L-C电路，设u为控制量，电感L上的支路电流和电容C上的电压x2为状态变量，电容C上的电压x2为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程，并绘制状态变量图。 解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有 独立变量。 以电感L上的电流和电容两头的电压为状态变量，即令：iLx1,ucx2， 由基尔霍夫电压定律可得电压方程为： ?? 从上述两式可解出x1，x2，即可获得状态空间表达式以下： y1 0 1 x1 0 R1R2 R1 R2u y2 = R1R2 R1R2 x2 +R1 R2 三、（每题10分共40分）基础题 （1）试求y3y2yuu的一个对角规范型的最小实现。（10分） Y(s) s3 1 (s1)(s2 s1) s2 s 1 1 1 1 4 分 U(s) s3 3s2 (s 1)(s2 s2) s2 s 2 s2 s1 不如令 X1(s) 1 ，X2(s) s 12分 U(s) s2 U(s) 1 于是有 Y(s) 1 X1(s) X2(s) ，所以Y(s) U(s) X1(s) X2(s)，即有 又U(s) U(s) U(s) yux1x22分 最后的对角规范型实现为 则系统的一个最小实现为： 2 0 1 x u,y11x+u2分 x 0 1 1 2 0 1 1 u,y12 x 2 2 3 10 0 2 1 u 1 3 2 2 y 1 2x2 3 10 et 0 t e2t 0 .....3 t x(t)tx(0) 0  tBu()dτ .....3 et 0 1tet 0 1 2t 0 2t dτ 0 e 1 1 0 e ...2 et t et dτ e 2t 0 2t e ......1 et 1 et 1 = e2t 11e2t =11e2t ..1 2 2 （4）已知系统 x 1 1 1 10分） 0 x u试将其化为能控标准型。（ 0 1 解：uc 1 2 1 0 1 ...2 1 0 ，uc1 1 2 2 p101uc 1 0 1 1 1 011 ..1 1 2 2 2 2 p2p1A 1 1 2 2  1 00  1 2  ...1 1 1 1 1 P 2 2 ,P 1 ...2 分 1 1 1 1 2 2 0 1 x 0 ...4分 能控标准型为 x 1 u 0 1 四、设系统为 试对系统进行能控性及能观察性分解，并求系统的传达函数。（ 10分） 解： 能控性分解： 能观察性分解： 传达函数为g(s) 4 5 20LLL(2分) s 3 s 3 五、试用李雅普诺夫第二法，判断系统 ? 0 1 x 1 x的稳固性。（10分） 1 方法一： ? 解： x1 x2 原点xe=0是系统的独一均衡状态。选用标准二次型函数为李雅普诺夫 函数，即 ? ? ? 当x1 0，x2 0时，v(x)0；当x1 0，x2 0时，v(x) 0，所以v(x)为 负半定。依据判断，可知该系统在李雅普诺夫意义下是稳固的。 另选一个李雅普诺夫函数，比如： 为正定，而 为负定的，且当x，有V(x)。即该系统在原点处是大范围渐进稳 定。 方法二： 解：或设Pp11p12 p21p22 则由ATPPA 0 1 p11 p12 p11 p12 01 10 I得 1 p12 p22 p12 p22 11 01 1 可知P是正定的。所以系统在原点处是大范围渐近稳固的 六、（20分）线性定常系统的传函为 Y(s) s4 U(s) (s2)(s 1)