正态分布下的累积概率.doc

正态散布 3.1正态散布 关于连续型随机变量而言，正态散布(normaldistribution)是最重要的一种概率散布。经验表示：关于依靠于众多细小要素；且每一要素均产生细小的或正或负影响的连续型 随机变量来说，正态散布是一个相当好的描述模型。 如人的体重，因为遗传、骨骼构造、饮食、锻炼、等都对人的体重有影响，但又没有一 种要素起到压到全部的主导作用。与此相近似，人的身高、考试分数等都近似地听从正态散布。 往常用： X～N(u, 2) (3-1) 表示随机变量X听从正态散布。N表示正态散布，括号内的参数u, 2 称为正态散布的 整体均值(或希望)和方差。 正态散布的性质 正态散布曲线以均值u为中心，对称散布。 正态散布的概率密度函数呈中间高、两边低，在均值u处达到最高，向两边渐渐降 1 低，即随机变量在远离均值处取值的概率渐渐变小。 正态曲线下的面积约有68%位于u±两值之间；约有95%的面积位于u±22之间； 而约有99.7%的面积位于u±3之间。 ★(4)两个(或多个)正态散布随机变量的线性组合仍听从正态散布。 令X和Y互相独立： X～N(uX， 2) x Y～N(uY， 2) y 此刻考虑两个变量的线性组合： W＝aX+bY 则W～N(uW， 2) (3-2) w 此中， uW=(auX＋buY) (3-3) 2 x2+b2 y2) w=(a2 (3-4) 例3.1 令X表示在下沙高教区一花店每天销售玫瑰花数目，Y表示在下沙镇一花店每天销售玫瑰花的数目，假定X和Y听从正态散布，且互相独立，并有： X～N(100，64)，Y～N(150，81) 求两天内两花商销售玫瑰花数目的希望及方差？ W＝2X＋2Y 依据式(3-3) E(w)＝E(2X+2Y)=500， Var(w)=4var(X)+4var(Y)=580 所以，W听从均值为500，方差为580的正态散布，即W～N(500，580)。 标准正态散布 两个正态散布可能因为希望或方差的不一样，或是希望和方差均不一样而相差别。怎样比较 各样不一样的正态散布呢？ 2 定义一个新的变量Z： Z  Xu 假如变量X的均值为u，方差为 2 ，则依据式(3-4)，变量Z的均值为0，方差为1。称之 为标准正态变量(standardnormalvariable)。 2 即若X～N(u，)，那么变量Z就是标准正态变量，用符号表示为： Z～N(0，1)(3-5) 证明： （1）均值为0 因为有E(aX+b)=aE(X)+b，所以 E（uX）u1E（X）=0 （2）方差为1 因为有var(aX+b)=a2var(X) ，所以 var（uX）12var（X）=1 图3-3a和3-3b分别给出标准正态散布的概率密度函数和积累散布函数。 3 例3.2 变量x表示花房每天销售的玫瑰花量，假定它听从均值为70、方差为9的正态散布，即X～ N(70，9)，求任给一天，销售玫瑰花数目大于75支的概率。 75701.76 3 听从标准正态散布，求P(Z1.67)。 从附录表可知，Z位于区间(0,1.3)的概率为0.4032，位于(0，2.5)的概率为0.4938。 由正态散布的对称性可知，Z位于区间(-1.3,0)的概率也为0.4032，位于(-2.5,0)的概率为 0.4938。因为这类对称性，在标准正态散布表中一般仅给出Z取正当的情况。也就是说，标准正态密度函数，在Z=0的左右边积均为0.5，整个面积(或概率)为1。 依据正态散布表得： P(0≤Z≤1.67)=0.4525 所以， P(Z1.67)=0.5000－0.4257=0.0475 即每天销售玫瑰花的数目超出75支的概率为0.0475。(拜见图3-3a) 4 例3.3 持续例3.2,现假定要求每天销售玫瑰花数目小于或等于75支的概率。 概率为：0.5000+0.4525=0.9525(见图3-3b)。 例3.4 求每天销售玫瑰花数目在在65与75支之间的概率。 6570 Z1.67 7570 Z1.67 查表得， P(－1.67≤Z≤0)=0.4525 P(0≤Z≤1.67)=0.4525 由正态散布的对称性获得， P(－1.67≤Z≤1.67)=0.9050 即每天销售面包的数目介于65条与75条之间的概率约为90.5%(见图3-3a)。 上边的例子表示：一旦知道某一正态变量的希望与方差，先将其转变为标准正态变量，而后依据正态散布表求得相应的概率。 ★★3.2样本均值X的抽样散布或概率散布 样本均值是整体均值的 预计量，但因为样本均值是依照某一给定样本而定， 所以其值也 会因随机样本的不一样而变化。 也就是说，样本均值也是随机变量， 而且有其自己的概率散布 函数。 称X1，X2，??，Xn组成一个容量为n的独立同散布随机变量(indepe