求圆锥曲线离心率几种方法.docx

对于椭圆离心率 2 2 设椭圆x2 y2 1（ab 0）的左、右焦点分别为 F1、F2，假如 a b F1PF290，求离心率e的取值范围。 椭圆上存在点 P，使 解法1：利用曲线范围 设P（x，y），又知F1（ c，0），F2（c，0），则 F1P(xc，y)，F2P (xc，y) 由F1PF2 90，知F1P F2P， 则F1PF2P 0 ， 即(xc)(x c) y2 0 得x2 y2 c2 将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得 x 2 a2c2 a2b2 a 2 b 2 但由椭圆范围及 F1PF2 90 知0 x2 a2 即0 a2c2 a2b2 a2 a2 b2 可得c2 b2，即c2 a2 c2，且c2 a2 进而得e c 2，且e c 1 a 2 a 所以e[2，1） 2 解法2：利用二次方程有实根 由椭圆定义知 |PF| |PF|2a |PF|2 |PF |2 2|PF||PF|4a2 1 2 1 2 1 2 1/6 又由F1PF2 90，知 |PF1|2|PF2|2 |F1F2|2 4c2 则可得|PF1 ||PF2|2(a2 c2) 这样，|PF1 |与|PF2|是方程u2 2au2(a2 c2) 0的两个实根，所以 4a28(a2c2)0 c21 e2 2a 2 e 2 2 所以e[，1) 解法3：利用三角函数有界性 记 PF1F2 ，PF2F1 ，由正弦定理有 |PF1||PF2| |F1F2| sin sin sin90 |PF1||PF2 | sin sin |F1F2| 又|PF1| |PF2| 2a，|F1F2| 2c，则有 e c 1 1 1 a sin sin 2sin cos 2cos 2 2 2 而0 | | 90 知0 | | 45 2 2 cos 1 2 2 进而可得 2 e1 2 2/6 解法4：利用焦半径 由焦半径公式得 |PF1|aex，|PF2|aex 又由|PF1|2 |PF2|2|F1F2|2 ，所以有 a2 2cx e2x2 a2 2cx e2x2 4c2 即a2 e2x2 2c2，x2 2c2 a2 e2 又点P（x，y）在椭圆上，且x a，则知0x2 a2，即 0 2c2 a2 a2 e2 2 得e[，1） 2 解法5：利用基本不等式 由椭圆定义，有2a |PF1| |PF2|平方后得 4a2 |PF1|2|PF2|2 2|PF1 ||PF2|2(|PF1|2|PF2|2)2|F1F2|2 8c2 得c2 1所以有e [ 2 ，1） a2 2 2 解法6：巧用图形的几何特征 由F1PF290，知点P在以|F1F2|2c为直径的圆上。 又点P在椭圆上，所以该圆与椭圆有公共点P 故有cbc2b2a2c2 由此可得e[2，1） 2 3/6 操练 一、直接求出a，c或求出a与b的比值，以求解e。 在椭圆中，e c，e c c2 a2 b2 1b2 a a a2 a2 a2 1. 已知椭圆的长轴长是短轴长的 2倍，则椭圆的离心率等于 _____ 2. 已知椭圆两条准线间的距离是焦距的 2倍，则其离心率为 _____ 3. 若椭圆经过原点，且焦点为 F1(1,0),F2(3,0),则椭圆的离心率为 ____ 已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点 的椭圆的离心率为 ___ 5.若椭圆x2 y21,(a b 0)短轴端点为P知足PF1 PF2，则 a2 b2 椭圆的离心率为 e ___ 6..已知1 2 1(m0.n 0) 则当mn获得最小值时，椭圆 m n x2 y2 1的的离心率为 m2 n2 ____ 7.椭圆x2 y2 1(ab 0)的焦点为F1 ，F2，两条准线与 x轴的 a2 b2 交点分别为M，N，若MN≤F1F2 ，则该椭圆离心率的取值范 围是_________ 8.已知 1为椭圆的左焦点， 、 分别为椭圆的右极点和上极点， P 为椭 F AB 圆上的点，当 PF1⊥F1A，PO∥AB（O为椭圆中心）时，椭圆的离心率为 ___________ 4/6 9.P是椭圆x 2 +y 2 =1（a＞b＞0）上一点，F1、F2 是椭圆的左右焦点，已 a 2 b 2 知PFF ,PFF 2, F1PF2 3, 椭圆的离心率为 e_____ 12 21 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，若 PF1F215,PF2F175，则椭圆的离心率为 _______ 11.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准 线的距离为1，则该椭圆的离心率为 _______ 二、结构a，c的齐次式，解出e 1．已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是 ____ 2．以椭圆的右焦点F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心而且