求证全等三角形的几种方法.docx

.. 求证全等三角形的几种方法 课程解读 全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是此后学习其余知识的基础。 判断三角形全等的公义有SAS、ASA、AAS、SSS和HL，假如所给条件充分，则可直接依据相应的公义证明，可是假如给出的条件不全，就需要依据已知的条件联合相应的公义进行剖析，先推导出所缺的条件而后再证明。一些较难的证明题要结构适合的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就能够 化难为易了。 典型例题 全等三角形协助线 找全等三角形的方法： （1）能够从结论出发，找寻要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在 哪两个可能全等的三角形中； 2）能够从已知条件出发，看已知条件能够确立哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确立哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不行行，可考虑增添协助线，结构全等三角形。 三角形中常有协助线的作法： ①延伸中线结构全等三角形； ②利用翻折，结构全等三角形； ③引平行线结构全等三角形； ④作连线结构等腰三角形。 常有协助线的作法有以下几种： （1）碰到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思想模式是全等变换中的“对折”。 例1：如图，ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD均分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延伸线于点E。求证：BD=2CE。 解答过程： 证明：延伸BA，CE交于点F，在BEF和BEC中， ∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°， BEF≌BEC，∴EF=EC，进而CF=2CE。又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。 在ABD和ACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°， ∴ABD≌ACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。 ;.. .. （2）若碰到三角形的中线，可倍长中线，使延伸线段与原中线长相等，结构全等三角形，利用的思想模式是全等变换中的“旋转”。 例2：如图，已知ABC中，AD是∠BAC的均分线，AD又是BC边上的中线。求证： ABC是等腰三角形。 解答过程： 证明：延伸AD到E，使DE=AD，连结BE。 又由于AD是BC边上的中线，∴BD=DC 又∠BDE=∠CDA BED≌CAD， 故EB=AC，∠E=∠2， ∵AD是∠BAC的均分线∴∠1=∠2， ∴∠1=∠E， AB=EB，进而AB=AC，即ABC是等腰三角形。 解题后的思虑：题目中假如出现了三角形的中线，常加倍延伸此线段，再将端点连结，即可获得全等三角形。 （3）碰到角均分线，能够自角均分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思想模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点经常是角均分线的性 质定理或逆定理。 例3：已知，如图，AC均分∠BAD，CD=CB，ABAD。求证：∠B+∠ADC=180°。 ;.. .. 解答过程： 证明：作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F。 ∵AC均分∠BAD， CE=CF。 在Rt△CBE和Rt△CDF中， ∵CE=CF，CB=CD， Rt△CBE≌Rt△CDF，∴∠B=∠CDF， ∵∠CDF+∠ADC=180°， ∴∠B+∠ADC=180°。 解题后的思虑： ①对于角平行线的问题，常用两种协助线； ②见中点即联想到中位线。 （4）过图形上某一点作特定的平行线，结构全等三角形，利用的思想模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 例4：如图，ABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延伸线上一点，连EF 交BC于D，若EB=CF。求证：DE=DF。 ;.. .. 解答过程： 证明：过E作EG//AC交BC于G， 则∠EGB=∠ACB， 又AB=AC，∴∠B=∠ACB， ∴∠B=∠EGB，∴∠EGD=∠DCF， EB=EG=CF， ∵∠EDB=∠CDF，∴DGE≌ΔDCF， DE=DF。 解题后的思虑：本题的协助线还能够有以下几种作法： 例5：△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP均分∠BAC交BC于P，BQ均分 ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。 解答过程： ;.. .. 证明：如图（1），过O作OD∥BC交AB于D， ∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°， 又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°， ∴∠ADO=∠AQO， 又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO， ∴△ADO≌△AQO， ∴OD=OQ，AD=AQ， 又∵OD∥BP， ∴∠PBO=∠DOB， 又∵∠PBO=∠DBO， ∴∠DBO=∠DOB， BD=OD， 又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°， BOP=∠OBA+∠BAO=70°，∴∠BOP=∠BPO， BP=OB， AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。 解题后的思虑： 1）本题也能够在AB上截取AD=AQ，连O