第三章多维随机变量及其分布.ppt

第三章多维随机变量及其分布阜师院数科院第一页，共七十四页，2022年，8月28日 第二页，共七十四页，2022年，8月28日 §1 二维离散型随机变量§1.1 二维离散型随机变量及联合分布律 第三页，共七十四页，2022年，8月28日 二维离散型随机向量(X,Y)的分布律表第四页，共七十四页，2022年，8月28日 解 (X,Y)的可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),则(X,Y)的联合分布律为第五页，共七十四页，2022年，8月28日 §1.2二维离散型随机变量联合分布律的性质性质1 证 因为,所以 性质2 证 第六页，共七十四页，2022年，8月28日 证 第七页，共七十四页，2022年，8月28日 解 P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j|X=i}=(1/4)(1/i)(i≥j),于是(X,Y)的分布律为第八页，共七十四页，2022年，8月28日 §2 二维连续性随机变量 §2.1二维随机变量的联合分布函数 第九页，共七十四页，2022年，8月28日 设二维离散型随机变量X和Y具有分布律P{X= xi,Y= yj}=pij ,(i,j=1,2,...)，则二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布函数为 其中和式是对一切满足xi≤x,yj≤y的来求和的.第十页，共七十四页，2022年，8月28日 (x1,y1)(x1,y2)(x2,y2)(x2,y1)oⅠⅢⅡⅣxy第十一页，共七十四页，2022年，8月28日 §2.2二维随机变量联合分布函数的性质 性质1 F(x,y)分别关于x和y单调不减. 证 对任意的 因为 所以即 同理可证,对任意的 有第十二页，共七十四页，2022年，8月28日 性质3 F(x,y)分别关于x和y右连续. 第十三页，共七十四页，2022年，8月28日 §2.3 二维连续型随机变量 第十四页，共七十四页，2022年，8月28日 第十五页，共七十四页，2022年，8月28日 解 (1)由 得所以 k=6(2) 第十六页，共七十四页，2022年，8月28日 解 由 则 当x1,y1时, 所以(X,Y)的联合分布函数第十七页，共七十四页，2022年，8月28日 例:设二维随机向量(X,Y)具有概率密度 (1)求分布函数F(x,y);(2)求概率P{Y≤X}. 解:(1)(2)将(X,Y)看着平面上随机点的坐标.G是xoy平面上直线y=x下方的部分.第十八页，共七十四页，2022年，8月28日 关于二维随机向量的讨论,可以推广到n(n2)维随机向量的情况. 设(X1, X2,…, Xn)为n维随机向量,对于任意n个实数x1, x2,…, xn,n元函数F(x1, x2,…, xn)=P{X1≤x1,X2 ≤x2,…, Xn ≤xn}称为n维随机向量(X1, X2,…, Xn)的分布函数或随机变量X1, X2,…, Xn的联合分布函数.它具有类似于二维随机向量的分布函数的性质.第十九页，共七十四页，2022年，8月28日 §2.4 常用的二维连续型随机变量 第二十页，共七十四页，2022年，8月28日 第二十一页，共七十四页，2022年，8月28日 §3 边缘分布 第二十二页，共七十四页，2022年，8月28日 §3.1 边缘分布函数 第二十三页，共七十四页，2022年，8月28日 边缘分布函数完全由联合分布函数确定. 第二十四页，共七十四页，2022年，8月28日 解 (X,Y)关于X的边缘分布函数 第二十五页，共七十四页，2022年，8月28日 解 (X,Y)关于Y的边缘分布函数 第二十六页，共七十四页，2022年，8月28日 §3.2 边缘分布律 第二十七页，共七十四页，2022年，8月28日 (1) (X,Y)关于X的边缘分布律(2) (X,Y)关于Y的边缘分布律第二十八页，共七十四页，2022年，8月28日 第二十九页，共七十四页，2022年，8月28日 解 P{X=i,Y=j}=P{Y=j|X=i}P{X=i}=(1/i)(1/4),(i≥j)于是(X,Y)的分布律及关于X和Y的边缘分布律为第三十页，共七十四页，2022年，8月28日 例:把3个白球和3个红球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中.记落入第1号盒子的白球个数为X,落入第2号盒子的红球个数为Y.求(X,Y)的分布律和关于X和Y的边缘分布律.解 显然有又因为事件{X=i}与事件{Y=j}相互独立,所以有第三十一页，共七十四页，2022年，8月28日 用表格可如下表示第三十二页，共七十四页，2022年，8月28日 例:设随机变量X和Y具有联合概率密度求边缘概率密度pX(x)和pY(y).解第三十三页，共七十四页，2022年，8月28日 §3.3