数学微专题27之2-高考数学微专题 立体几何中关于折叠的所有问题.docx

立体几何中关于折叠的所有问题 折叠是平面几何向空间立体几何转换的一个桥梁，其中涉及到多方面的知识，所以就成为高考的一个热点问题，也是一个难点。折叠问题往往描述的是一个运动变化的过程，对折叠前后的几何量间关系是否改变，是我们研究的重点。考题中有关折叠的类型主要包括以下几方面： 一. 折叠后图形形状判断 【例】如下图,在下列六个图形中,每个小四边形皆为全等的正方形,那么沿其正方形相邻边折叠,能够围成正方体的是_____________(要求：把你认为正确图形的序号都填上) ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 【答案】①③⑥ 【解析】①③⑥可以. ②把横着的小方形折起后,再折竖着的小方形,则最上方的小方形与正方体的一个侧面重合,导致正方体缺少一个侧面； ④把下方的小方形折起后,则上方的小方形中的第1,2个重合,导致正方体的底面缺少,不能折成正方体； ⑤把中间的小方形当成正方体的底面,则右下方的小方形折叠不起来,构不成正方体. 【趁热打铁】下图代表未折叠正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形是（ ） A. B. C. D. 二. 折叠后的线段的位置关系判断 【例】将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四边形ABCD(如图2),则在空间四边形ABCD中,AD与BC的位置关系是 (　　) 图1　　　　　　　图2 A．相交且垂直 B．相交但不垂直 C．异面且垂直 D．异面但不垂直 【答案】C 【解析】在图1中的等腰直角三角形ABC中,斜边上的中线AD就是斜边上的高,则AD⊥BC,折叠后如图2,AD与BC变成异面直线,而原线段BC变成两条线段BD、CD,这两条线段与AD垂直,即AD⊥BD,AD⊥CD,故AD⊥平面BCD,所以AD⊥BC. 【趁热打铁】如图,在正方形ABCD中,点E,F分别为边BC,AD的中点,将沿BF所在直线进行翻折,将沿DE所在直线进行翻折,在翻折过程中（ ） A. 点A与点C在某一位置可能重合 B. 点A与点C的最大距离为 C. 直线AB与直线CD可能垂直 D. 直线AF与直线CE可能垂直 三.折叠后几何体的数字特征方面 折叠后几何体的数字特征包括线段长度、几何体的表面积与体积、空间角与距离等,设计问题综合、全面,也是高考命题的重点.解决此类问题的关键是准确确定折叠后几何体的结构特征以及平面图形折叠前后的数量关系之间的对应. 1.折叠后有关体积的计算 【例】如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,CD=2AB=4,AD=,E为CD的中点,将△BCE沿BE折起,使得CO⊥DE,其中点O在线段DE内. (1)求证:CO⊥平面ABED; (2)求∠CEO(记为θ)多大时,三棱锥C-AOE的体积最大?最大值为多少? 【答案】(1)证明：见解析.(2)当θ=π4时,三棱锥C-AOE的体积最大,最大值为2 【解析】(1)证明：在直角梯形ABCD中,CD=2AB,E为CD的中点,则AB=DE. 又AB∥DE,AD⊥AB,知BE⊥CD. 在四棱锥C-ABED中,BE⊥DE,BE⊥CE,CE∩DE=E,CE,DE?平面CDE,则BE⊥平面CDE. 因为CO?平面CDE,所以BE⊥CO. 又CO⊥DE,且BE,DE是平面ABED内两条相交直线,故CO⊥平面ABED. (2)解：由(1)知CO⊥平面ABED, 知三棱锥C-AOE的体积V=13S△AOE·OC=1 由直角梯形ABCD中,CD=2AB=4,AD=2,CE=2, 得三棱锥C-AOE中,OE=CE·cos θ=2cos θ, OC=CE·sin θ=2sin θ,V=23sin 2θ≤2 当且仅当sin 2θ=1,θ∈0,π2 (此时OE=2DE,O落在线段DE内). 故当θ=π4时,三棱锥C-AOE的体积最大,最大值为2 【趁热打铁】如图1，在平面ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=, ,将其对角线BD折成四面体,如图2，使平面平面BCD,若四面体的顶点在同一球面上，则该球的体积为____________ 【答案】 【解析】因为BD中点O到距离为 ，O到距离为 ，所以 ，体积为 2.折叠后有关表面积的计算 【例题】在平面四边形 中，AB=BC=2,AC=AD=2，现沿对角线AC折起,使得平面DAC平面ABC，则此时得到的三棱锥D-ABC外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 3.折叠后有关线面角的计算