数学-湖南师范大学附属中学2024届高三摸底考试数学答案.docx

湖南师大附中2021级高三摸底考试试卷 数学参考答案 一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A A C A C D AD ACD BCD ACD 1.C（原题） 2.B 【解析】设，则根据题意，有，得到，所以的虚部是-1.故选B. 3.A 4.A 【解析】设土地租金成本和运输成本分别为万元和万元，分拣中心和货运枢纽相距，则根据题意易知，，故，当且仅当时取等号.故选A. 5.C 【解析】A项，由于，明显有，故正确； B项，，B正确； 项，和方向相反，但长度不等，因此不是一对相反向量，C错误； D项，，D正确.故选C. 6.A（原题） 【解析】 .故选A. 7.C 【解析】由是公差为3的等差数列，可知. 若是和的等比中项，则，解得或（舍去，因为此时，可见“”是“是和的等比中项”的充要条件.故选C. 8.D 【解析】函数的定义域为，且， 所以为偶函数，又当时，是增函数， 令， 任取，且， 则， 因为， 所以， 所以， 所以在上是增函数，即在上是增函数， 所以不等式对任意恒成立， 转化为，即， 所以和在上恒成立， ①若在上恒成立，则，解得； ②若在上恒成立，则，解得； 综上所述，实数的取值范围是. 故选：D. 二?多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.AD 【解析】由图表可知，2018-2022这5年我国社会物流总费用逐年增长，2021年增长的最多，且增长为万亿元，故A正确； 因为，则分位数为第5个，即为16.7，所以这6年我国社会物流总费用的分位数为16.7万伧元，故B错误； 由图表可知，2017-2022这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为，故C错误； 由图表可知，2022年我国的GDP为万亿元，故D正确.故选：AD. 10.ACD（此题为原题，见一轮复习资料6.3等比数列的练习题） 【解析】由是等差数列，可得， 是各项均为正数的等比数列，，可得， 数列是等差数列，因此A正确； 是常数列，为等差数列，因此C正确； 是等比数列，因此D正确； 不是等比数列，因此B不正确.故答案为ACD. 11.BCD 【解析】由题可得， 当时，，故函数在上不单调，故A错误； 当时，，故B正确； 当时，，故函数的图象关于直线对称，故C正确； 因为，所以， 若直线为曲线的切线，则由，可得：或， 当时，，于是，解得， 当时，，于是，此时无解. 综上，直线为曲线的切线.故D正确. 故答案为. 12.ACD 【解析】对于选项，连接四边形为正方形，， 平面平面， 平面， 平面， 同理可证平面， 平面对； 对于选项，设平面， 三棱锥为正三棱锥， ， 平面平面，即， ，解得， 点的轨迹是半径为1的圆，错； 对于选项，平面与平面所成的角为， 且，故，C对； 对于选项，点到直线的距离为， 点到直线的距离的最大值为， 平面三棱锥的高为， 三棱锥体积的最大值为对. 故选：ACD. 三?填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 14. 【解析】由题可知，，当且仅当时等号成立，所以要使不等式恒成立，即，解得. 15. 【解析】如图， 取的中点，连接，设的外心为， 为等腰直角三角形，是等边三角形，，，在中，， 在中，由，可得， 为外接球的球心，该三棱锥的外接球表面积为. 故答案为：. 16. 【解析】由题可知点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， ， ， ，又向量是长度为的一个向量， 由此可得，点在圆上运动，当与共线反向时，取最小值，且这个最小值为一，故的最小值为. 四?解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤. 17.【解析】（1），由正弦定理得： ， ， . （2）方法一：由已知：，得. ， . 方法二：由已知：，得. 由余弦定理. . 设， 在中，； 在中，； 由，解得. . 18.【解析】（1）因为， 用替换上式的，得. 两式作差，即得，整理后有. 在原式中令，得，故对任意都成立. 而的首项为1，故，所以是公比为2的等比数列. 因此的通项公式是. （2）由（1）得， 故. 所以. 又， 作差得 . 19.【解析】（1）取中点，作直线即为所求. 取中点，连接，则有， 如图，在等腰梯形中，，所以， 则四边形为平行四边形， 所以， 又平面平面， 所以平面. （2）过点作于， 在等腰梯形中，，所以该梯形的高， 所以等腰梯形的面积为， 所以四棱锥的体积，解得， 所以点与重合， 以为原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系，则 ， 设平面的法向量为， 所以 取，则. 同理可得