数学微专题27之14-三次函数的图像与性质.docx

三次函数的图像和性质 设三次函数为（、、、且），其基本性质有： 性质一：定义域为R； 性质二：值域为R，函数在整个定义域上没有最大值、最小值； 性质三：单调性和图象。 当a0时，先看二次函数f′（x）=3ax2+2bx+c，Δ=4b2-12ac=4（b2-3ac） 当Δ=4b2-12ac=4（b2-3ac）0，即b2-3ac0时，f′（x）与x轴有两个交点，， f（x）形成三个单点区间和两个极值点，，图像如图1,2： 当Δ=4b2-12ac=4（b2-3ac）=0，即b2-3ac=0时，f′（x）与x轴有两个等根 ，f（x）没有极值点，图像如图3,4： 图1 图2 图3 图4 图5 图6 当Δ=4b2-12ac=4（b2-3ac）＜0，即b2-3ac＜0时，f′（x）与x轴没有交点， f（x）没有极值点，图像如图5,6： 当a＜0时，先看二次函数f′（x）=3ax2+2bx+c，Δ=4b2-12ac=4（b2-3ac） 当Δ=4b2-12ac=4（b2-3ac）0，即b2-3ac0时，f′（x）与x轴有两个交点，，f（x）形成三个单点区间和两个极值点，，图像如图7,8： 图7 图8 图9 图10 图11 图12 当Δ=4b2-12ac=4（b2-3ac）=0，即b2-3ac=0时，f′（x）与x轴有两个等根，f（x）没有极值点，图像如图9,10： 当Δ=4b2-12ac=4（b2-3ac）＜0，即b2-3ac＜0时，f′（x）与x轴没有交点，f（x）没有极值点，图像如图11，12： 性质四：三次方程f（x）=0的实根个数 对于三次函数（、、、且），其导数为f′（x）=3ax2+2bx+c， 当b2-3ac0，其导数f′（x）=0有两个解 ， ，原方程有两个极值。 当 ，原方程有且只有一个实根，图像如图13，14； x1x x1 x2 x x1 x2 x 图13 图14 图15 图16 图17 当，则方程有2个实根，图像如图15，16； 当，则方程有三个实根，图像如图17； 性质五：奇偶性 对于三次函数（、、、且） f（x）不可能为偶函数； 当且仅当时是奇函数； 性质六：对称性 结论一：三次函数是中心对称曲线，且对称中心是； 结论二：其导函数为 对称轴为，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，y＝f(x)图象的对称中心在导函数y＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点； 结论三：是可导函数，若的图象关于点对称，则图象关于直线对称. 结论四：若图象关于直线对称，则图象关于点对称。 结论五：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数。 性质七：三次函数f（x）图象的切线条数 (1)由三次函数的中心对称性可知：过三次函数的对称中心且与该三次曲线相切的直线有且只有一条； (2)过三次曲线上除对称中心的任一点与该三次曲线相切的直线有二条； 性质八：切割线性质 （1）设P是f(x)上任意一点(非对称中心)，过点P作函数f(x)图象的一条割线AB与一条切线PT(P点不为切点),A,B,T均在f(x)的图象上，则T点的横坐标平分A.B点的横坐标，如图18： 图18 图19 图20 图21 推论1：设P是f(x)上任意一点（非对称中心)，过点P 作函数f(x)图象的两条切线PM，PN，切点分别为M、P，则M点的横坐标平分P、N的横坐标，如图19： 推论2：设f(x)的极大值为M，当成f(x)=M的两根为，，则区间被 和极小值点三等分，类似的，对极小值点m也有此结论，如图20： 性质九：切线条数 一般地，如图，过三次函数f(x)图象的对称中心作切线L,则坐标平面被切线L和函数f（x）的图象分割为四个区域，有以下结论： 过区域1、Ⅲ内的点作y=f(x)的切线，有且仅有3条； 过区域II、IV内的点以及对称中心作y=f(x)的切线，有且仅有1条； 过切线L或函数f(x)图象（除去对称中心）上的点作y=f(x)的切线，有且仅有2条。 微专题全套27讲见： 数学微专题27之1-高考热点之证明数列不等式 数学微专题27之2-高考数学微专题 立体几何中关于折叠的所有问题 数学微专题27之3-关于三角函