数学微专题27之10-解析几何中斜率之积为定值的问题探究.docx

微专题：解析几何中斜率之积为定值（）的问题探究 【教学重点】掌握椭圆中的形成的路径探寻及成果运用理性判断 【教学难点】运算的设计和化简 活动一：形成的路径探寻 1.?若AB是椭圆上的不过原点的弦，点P是弦AB的中点，且直线OP,AB 的斜率都存在，求． 【解析】 ：设点，，， 则有（代点作差） 将①式减②式得，，， 所以所以， 即． 【结论形成总结】 【结论1】 ?若AB是椭圆上的非直径的弦，点P是弦AB的中点，且直线OP,AB的斜率都存在，则． 2.已知AB是椭圆上过原点的弦，点P是椭圆异于A,B的任意一点， 若直线PA,PB的斜率都存在，记直线PA,PB的斜率分别为．求的值。 【解法1】：设，又因为A,B是关于原点对称， 所以点B的坐标为，所以． 又因为点，在椭圆上，所以有 两式相减得， ，所以． 【方法小结】本解法从设点入手，利用“点在曲线上”代点作差使用“点差法”。 ------------------------------------------------------------------------------- 【解法2】椭圆圆化；由圆的结论类比到椭圆中。 过圆上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值 类比上述圆的结论通过伸缩变换椭圆圆化 令 则有 ； 点P,A,B为椭圆上点 点p’,A’,B’为新圆上点 由圆上的的关系过渡到PA,PB上 【方法小结】解法2运用类比联想的方法；由圆的结论过渡到椭圆，学生易于理解，但通过伸缩变换将椭圆圆化的过程对于学生的能力具有一定的要求。这也正是我们要加强训练的地方。 【结论形成总结】 【?结论2】? 已知AB是椭圆的中心弦，点P是椭圆上任意一点，若直线PA,PB的斜率都存在，则． 活动二：结论的应用 【例1】 已知椭圆C：，直线m与椭圆C相交于A,B两点，且AB的中点为P(1,1) 则直线m的方程为 【解析】本题具有弦中点的特征所以应用结论1 因为P(1,1)易求的，所以 所以直线m的方程为：x+2y-3=0 如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，B， C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一交点为. 若，则直线的斜率为 . 【解析】观察图形易发现BC具有中心弦的特征选用结论2 因为所以 所以;在中易知 所以直线BD的倾斜角为所以直线BD的斜率为; 由结论可知所以 【方法小结】通过两道小题强化结论的应用；并让学生能够通过图形自主发现中点弦，中心弦的特征，从而合理巧妙的应用结论。 【例2】如图，椭圆中，A,B分别为椭圆的左右顶点，是椭圆的右准线， P是椭圆上的动点，直线AP,BP分别交于M,N，求线段MN的最小值。 【解析】【设K法】 设直线AP的斜率为K（k0），则直线AP的方程为：y=k(x+2); 又MN的方程为x=4.易求M(4,6K); 又A(-2,0);设 又点B（2,0）；所以；所以直线PB的方程为：；令x=4得 ；所以 解法二：【利用中心弦结论】 设直线AP的方程为：y=k(x+2);因为 所以直线PB的方程为：；易得M(4,6K)； 所以 解法三：【设点法】 设M(4,m)(m0);N(4,n)(n0);A(-2,),B(2,0) 【点评】三种方法两个角度：显然从设点和设K的角度处理问题结合中心弦的结论能够快速计算找到解题的突破口。 【拓展延伸】 在平面直角坐标系xOy中，设A,B为椭圆 上异于顶点的两点。 若OA,OB的斜率之积为，求证：为定值； 若OA,OB的斜率之积为，求证：线段AB的中点C在某个定椭圆上。 【解析】第一小问设； ；又因为点A,B在椭圆上 代入上式得： （2）设;因为C为AB中点 因为 ；所以（1）+（2）×2可得 【探究形成结论】 在平面直角坐标系xOy中，设A,B为椭圆 上异于顶点的两点。 若OA,OB的斜率之积为； 【解析】设； ；又因为点A,B在椭圆上 移项得： 由（1）（2）得： 由（1）+（2）得： (2)若OA,OB的斜率之积为，求证：线段AB的中点