数学-导数大题练习30题原题.docx

一．解答题（共30小题） 1．已知函数f（x）＝lnx+ax?2x（a∈R （Ⅰ）当a＝﹣2时，求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）若函数f（x）有两个不同零点x1，x2（x1＜x2）， （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）求证：x1?x22＞a 2．已知函数f（x）=1+x2ekx，g（x）＝2 （Ⅰ）若函数f（x）没有极值点，求实数k的取值范围； （Ⅱ）若g（x）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，求实数k和a所满足的关系式，并求实数k的取值范围． 3．已知函数f（x）＝（x+1）lnx﹣x+1． （Ⅰ）若xf′（x）≤x2+ax+1，求a的取值范围； （Ⅱ）证明：（x﹣1）f（x）≥0． 4．已知a＞1，函数f（x）＝ex?12x2﹣ax﹣1，其中 （Ⅰ）证明：函数y＝f（x）在（0，+∞）上有唯一零点； （Ⅱ）记x0为函数y＝f（x）在（0，+∞）上的零点，证明：x0＜a．（参考数值：ln4.6≈1.53） 5．已知函数f（x）＝31+x?4lnx8，g（x）＝x4+mx3+nx2+mx+10，m，n∈ （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）若对任意x1∈（0，+∞），总存在x2∈R，使得f（x1）＝g（x2），求m2+n2的最小值． 6．已知函数f（x）=lnxx2+a（x＞0），其中 （Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性； （Ⅱ）若e2[（x﹣1）2（x+1）+lnx]＜e2xlnx，求x的取值范围； （Ⅲ）当a＝3e4时，若x1，x2为函数g（x）＝f（x）﹣m（m∈R）的两个零点，试证明：4e2(x1+e2)(x 7．已知函数f（x）＝ax2+lnx（a∈R）． （1）当a=12时，求f（x）在区间[1， （2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称g（x）为f1（x），f2（x）的“活动函数“．已知函数f1(x)=(a?12)x2+2ax+(1?a2)lnx，f2（x）=12x2+2ax．若在区间（1，+∞）上函数 8．设函数f（x）＝xlnx（x＞0）． （1）求函数f（x）的最小值； （2）设F（x）＝ax2+f′（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性； （3）斜率为k的直线与曲线y＝f′（x）交于A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2）两点，求证：x1 9．已知函数f（x）＝x+1x+alnx，a （1）讨论y＝f（x）在区间[1，e]上的单调性； （2）若对任意的x∈[1，e]，都有2e≤f（x）≤2e恒成立，求实数 10．已知函数f（x）＝x﹣alnx． （Ⅰ）若f（x）≥1恒成立，求a的取值范围： （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，f（x）＝m有两个不同的根x1，x2，求证：x1+x2＞m+1． 11．已知函数f（x）=12ax2+（1﹣2a）x﹣2lnx，a∈ （1）讨论f（x）的单调性； （2）若不等式f（x）≥32在（0，1）上恒成立，求实数 12．已知函数f(x)=x?1 （1）求函数f（x）的单调区间和极值； （2）若函数y＝g（x）对任意x满足g（x）＝f（4﹣x），求证：当x＞2，f（x）＞g（x）； （3）若x1≠x2，且f（x1）＝f（x2），求证：x1+x2＞4． 13．已知函数f(x)=2 （Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y＝x+2垂直，求函数y＝f（x）的单调区间； （Ⅱ）若对于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围； （Ⅲ）记g（x）＝f（x）+x﹣b（b∈R）．当a＝1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围． 14．设函数f（x）＝x3﹣6x+5，x∈R （Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值； （Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝a有3个不同实根，求实数a的取值范围． 15．函数f(x)=lnx?1x，g（x）＝ax+ （1）若函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围； （2）若直线g（x）＝ax+b是函数f(x)=lnx?1x图象的切线，求a+ （3）当b＝0时，若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），试比较x1x2与2e2的大小．（取e为2.8，取ln2为0.7，取2为1.4） 16．设函数f（x）＝lnx?12ax2﹣ （Ⅰ）当a＝b=12时，求函数f（ （Ⅱ）令F（x）＝f（x）+12ax2+bx+ax（0＜x≤3）若其图象上的任意点P（x0，y0）处切线的斜率 （Ⅲ）当a＝0，b＝﹣1时，方程x2＝2mf（x）（其中m＞0）有唯一实数解，求m的值． 17．已知函数f（x）＝（x3﹣6x2+3x+t）ex，t∈R． （1）若函数y＝f（x）依次在x＝a，x＝b，x