2023年北京高考数学真题.docx

2023年普通高等校招生全国统一考试（北京卷） 数 本试卷满分150分考试时间 120 分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1 已知集合，则（ ） A B D 2 在复平面内，复数对应点的坐标是，则的共轭复数（ ） A B D 3 已知向量满足，则（ ） A B 0 D 1 4 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A B D 5 的展开式中的系数为（ ）． A B 40 D 80 6 已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ） A 7 B 6 5 D 4 7 在中，，则（ ） A B D 8 若，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 充要条件 D 既不充分也不必要条件 9 坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（ ） A B D 10 已知数列满足，则（ ） A 当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 B 当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 当时，递减数列，且存在常数，使得恒成立 D 当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11 已知函数，则． 12 已知双曲线的焦点为和，离心率为，则的方程为． 13 已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为， ． 14 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则；数列所有项的和为． 15 设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是． 三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16 如图，在三棱锥中，平面，． （1）求证：平面PAB； （2）求二面角的大小． 17 设函数． （1）若，求的值． （2）已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18 为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同． 时段 价格变化 第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 + 第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - + 用频率估计概率． （1）试估计该农产品价格“上涨”的概率； （2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率； （3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明） 19 已知椭圆的离心率为，A、分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，． （1）求的方程； （2）设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：． 20 设函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）设函数，求的单调区间； （3）求的极值点个数． 21 已知数列的项数均为，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集中最大的数 （1）若，求的值； （2）若，且，求； （3）证明：存在，满足 使得．