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第六章自由电子论和电子的输运性质习题 一金属体积为V，电子总数为N，以自由电子气模型（1）在绝热条件下导出电子气的压强为 其中 3 0 U0 NEF. 5 2）证明电子气体的体积弹性模量【解答】 （1）在绝热近似条件下，外场力对电子气作的功W等于系统内能的增加dU，即 式中P是电子气的压强.由上式可得 在常温条件下，忽略掉温度对内能的影响，则由《固体物理教程》（）式得 由此获得 （2）由《固体物理教程》（）式可知，体积弹性模量K与压强P和体积V的关系为 将 代入体积弹性模量K与压强P和体积V的关系式，获得 二维电子气的能态密度证明费米能 其中n为单位面积的电子数. 【解答】 由已知条件可得单位面积金属的电子总数 作变量变换 则有 即 1e E k T n2mkBT F B =e . 由上式解得 3.金属膨胀时，价带顶能级发生移动 证明 【解答】 解法一： 金属中自由电子的费米能 可认为是能带顶，式中 当金属体积膨胀后，体积由 V变成了VV V，费米能变成了 费米能的变化量 与已知条件比较可得 解法二： 由《固体物理教程》（）式可知，自由电子的能态密度 电子总数 金属膨胀后，能态密度增大，费密能级降低，但电子总数不变，即 由以上两式解得 4.由同种金属制做的两金属块，一个施加 30个大气压，另一个承受一个大气压，设体积弹性模量为1011 Nm2 ，电 子浓度为51028m3 ，计算两金属块间的接触电势差. 【解答】两种金属在同一环境下，它们的费密能相同，之间是没有接触电势差的 .但当体积发生变化，两金属的导电电子 浓度不同，它们之间将出现接触电势差 .设压强为0时金属的费密能为EF，金属1受到一个大气压后，费密能为 EF1，金属 2受到30个大气压后，费密能为EF2，则由《固体物理教程》（）式可知，金属 1与金属2间的接触电势差 由上边第3题可知 由《固体物理教程》（）式可知，固体的体积变化 V与体积弹性模量K和压强P的关系为 所以 两金属的接触电势差 将 代入两金属的接触电势差式子，得 5.若磁场强度B沿z轴，电流密度沿x轴，金属中电子受到的碰撞阻力为P/,P是电子的动量，试从运动方程出发， 求金属的霍尔系数. 【解答】 电子受的协力 dP P vB mv vB. F （1） dt 由于电子受的阻力与它的速度成正比，所以电场力与阻力平衡时的速度是最高平均速度，此时电子的加快度变为0，（1）式化成 v e v B. （2） m 因为电流的方向沿 x轴，平衡后，电子沿 z轴方向和y轴的速度分量为 0.因此，由（2）式得 vx e x, （3） m 0 e y eB vx. （4） m m 由以上两式得 y Bvx eB x. （5） m 称为霍耳电场，其方向与磁场和电流方向的关系如下图. 图 霍尔电场 将电流密度 jx x （6） 和（5）式一并代入霍耳系数 RH y （7） jxB 获得 RH e （8） m 将《固体物理教程》（）式代入上式，并取 m m得 试证金属的热导率 其中l是费密面上电子的平均自由程. 【解答】 由《固体物理教程》（）式可知，金属中导电是电子的弛豫时间 知足以下关系 电子的波矢k在空间内的散布十分密集，上式可用积分表示 令 则WE, d是能量为E的电子在单位时间内被散射到立体角 内的几率.如果散射是各向同性的，WE, 与 无关，则 上式说明，1 就是能量为E的电子在单位时间内总的散射几率，也就是说 是电子的平均自时间. 由《固体物理教程》（）式可知，金属的热导率 式中F是费密面上的电子的平均自由时间 .电子的平均自由时间 F和平均速度vF 与平均自由程l的关系是 而平均速度由下式求得 于是获得 nl2kB2T k 12. 32mEF0 7.设沿xy平面施加一电场，沿z轴加一磁场，试证，在一级近似下，磁场不改变电子的散布函数，并用经典力学解释 这一现象. 【解答】 在只有磁场和电场情况下，《固体物理教程》（）式化成 由上式可解得 考虑到外界磁场和电场对电子的作用远小于原子对电子的作用，必有 kfkf0. 于是有相当好的近似 因为 所以 可见在一级近似下，磁场对散布函数并无贡献.由经典理论可知，电子在磁场中运动受到一洛伦兹力  evB，该力 与电子的运动方向v垂直，它只改变电子的运动方向，并不增加电子的能量，即不改变电子的能态 .也就是说，从经典理论看， 磁场不改变电子的散布函数. 8.f0是平衡态电子散布函数，证明 【解答】 金属中导电电子处于平衡态时，其散布函数 f0 1 . EEF kBT e 1 令 则有 9.立方晶系金属，电流密度 j与电场 和磁场B的关系是 j 0 B B?BB2 , 试把此关系改写成 【解答】 立方晶系金属的电流密度 j 与电场 和磁场B的关系是 对大部分金属来说，F101