培优课　一道基本不等式问题的“一题多解”.DOCX

培优课　一道基本不等式问题的“一题多解” 【例题】　已知正数a，b满足eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝3，求a＋b的取值范围 法一　“1”的整体代换 解析一　由eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝3得eq \f(1,3a)＋eq \f(1,3b)＝1， ∴a＋b＝(a＋b)eq \b\l\(\r\)(\a\vs4\al\1(\f(1,3a)＋\f(1,3b)))＝eq \f(2,3)＋eq \f(a,3b)＋eq \f(b,3a)≥eq \f(2,3)＋2eq \r(\f(a,3b)×\f(b,3a))＝eq \f(4,3)，当且仅当eq \f(a,3b)＝eq \f(b,3a)，即a＝b＝eq \f(2,3)时取等号，所以a＋b的取值范围是a＋b≥eq \f(4,3) 思维升华　“1”的整体代换关键是构造出“1”，把 eq \f(1,3a)＋eq \f(1,3b)作为一个整体乘入到a＋b中一般情况下，(a＋by)·eq \b\l\(\r\)(\a\vs4\al\1(\f(,)＋\f(d,y)))＝a＋bd＋eq \f(by,)＋eq \f(ad,y)≥(eq \r(a)＋eq \r(bd))2(a，b，，d>0)，即a＋by与eq \f(,)＋eq \f(d,y)中知一可求另外一个的最小值 法二　求谁保留谁＋基本不等式组eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤eq \r(\f(a2＋b2,2)) 解析二　已知eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝3， 则3＝eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥2eq \r(\f(1,a)·\f(1,b))＝2eq \r(\f(1,ab))，即3≥eq \f(2,\r(ab))， 解得eq \r(ab)≥eq \f(2,3)，得ab≥eq \f(4,9)， 当且仅当eq \b\l\{(\a\vs4\al\1(\f(1,a)＝\f(1,b)，,\f(1,a)＋\f(1,b)＝3，))即a＝b＝eq \f(2,3)时取等号 由eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝3可得a＋b＝3ab≥3×eq \f(4,9)＝eq \f(4,3)，即a＋b的取值范围是a＋b≥eq \f(4,3) 思维升华　(1)由eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝3可得a＋b＝3ab，要求a＋b的范围，则需消去ab，即利用a＋b与ab的不等关系进行转化 (2)基本不等式组eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤eq \r(\f(a2＋b2,2))，同们可利用eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)自行证明 法三　求谁保留谁＋基本不等式组ab≤eq \b\l\(\r\)(\a\vs4\al\1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)≤eq \f(a2＋b2,2) 解析三　由eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝3得a＋b＝3ab又ab≤eq \b\l\(\r\)(\a\vs4\al\1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)， 所以eq \f(a＋b,3)≤eq \b\l\(\r\)(\a\vs4\al\1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)，即4(a＋b)≤3(a＋b)2， 所以a＋b≥eq \f(4,3)， 当且仅当eq \b\l\{(\a\vs4\al\1(a＝b，,\f(1,a)＋\f(1,b)＝3，))即a＝b＝eq \f(2,3)时取等号， 即a＋b的取值范围是a＋b≥eq \f(4,3) 思维升华　方法三与方法二的解题思想是一致的，只是应用了不同的不等式 法四　化归思想：二元转化为一元 解析四　由eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝3得a＋b＝3ab，∴b＝eq \f(a,3a－1)，由于a>0，b>0，可得a>eq \f(1,3)，则 a＋b＝a＋eq \f(a,3a－1)＝a＋eq \f(1,3)×eq \f(3a－1＋1,3a－1) ＝a＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,9\b\l\(\r\)(\a\vs4\al\1(a－\f(1,3)))) ＝a－eq \f(1,3)＋eq \f(1,9\b\l\(\r\)(\a\vs4\al\1(a－\f(1,3))))＋eq \f(2,3)≥2eq \r(\b\l\(\r\)(\a\vs4\al\1(a－\f(1,3)))×\f(1,9\b\l\(\r\)(\a\vs4\al\1(a－\f(1,3)))))＋eq \f(2,3)＝eq \f(4,3)， 当a－eq \f(1,3)＝eq \f(1,9\b\l\(\r\)(\a\vs4\al\1(a－\f(1