第八章 §8.13　圆锥曲线压轴小题突破　培优课.docx

§813　圆锥曲线压轴小题突破 题型一　圆锥曲线与向量、圆等知识的交汇问题 例1　(1)(2022·济南联考)已知椭圆：eq \f(2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(ab0)的左、右焦点分别是F1(－,0)，F2(,0)，点P是椭圆上一点，满足|eq \(PF1,\s\up6(——→))＋eq \(PF2,\s\up6(——→))|＝|eq \(PF1,\s\up6(——→))－eq \(PF2,\s\up6(——→))|，若以点P为圆心，r为半径的圆与圆F1：(＋)2＋y2＝4a2，圆F2：(－)2＋y2＝a2都内切，其中0ra，则椭圆的离心率为(　　) Aeq \f(1,2) Beq \f(3,4) eq \f(\r(10),4) Deq \f(\r(15),4) 答案　 解析　由|eq \(PF1,\s\up6(——→))＋eq \(PF2,\s\up6(——→))|＝|eq \(PF1,\s\up6(——→))－eq \(PF2,\s\up6(——→))|两边平方， 可得eq \(PF1,\s\up6(——→))·eq \(PF2,\s\up6(——→))＝0，则eq \(PF1,\s\up6(——→))⊥eq \(PF2,\s\up6(——→))， 由已知得eq \b\l\{\r\ (\a\vs4\al\1(|PF1|＝2a－r，,|PF2|＝a－r，)) 即|PF1|－|PF2|＝a， 由|PF1|＋|PF2|＝2a，得eq \b\l\{\r\ (\a\vs4\al\1(|PF1|＝\f(3a,2)，,|PF2|＝\f(a,2)，)) 在△PF1F2中，由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2 得eq \f(9a2,4)＋eq \f(a2,4)＝42，即e2＝eq \f(2,a2)＝eq \f(5,8)，所以e＝eq \f(\r(10),4) (2)(2022·广州模拟)已知A，B分别为椭圆：eq \f(2,4)＋y2＝1的左、右顶点，P为椭圆上一动点，PA，PB与直线＝3交于，N两点，△PN与△PAB的外接圆的周长分别为l1，l2，则eq \f(l1,l2)的最小值为(　　) Aeq \f(\r(5),4) Beq \f(\r(3),4) eq \f(\r(2),4) Deq \f(1,4) 答案　A 解析　由已知得A(－2,0)，B(2,0)， 设椭圆上动点P(，y)， 则利用两点连线的斜率公式可知 PA＝eq \f(y－0,＋2)，PB＝eq \f(y－0,－2)， ∴PA·PB＝eq \f(y－0,＋2)·eq \f(y－0,－2) ＝eq \f(y2,?＋2??－2?)＝eq \f(y2,2－4) ＝eq \f(1－\f(2,4),2－4)＝－eq \f(1,4) 设直线PA的方程为y＝(＋2)， 则直线PB的方程为y＝－eq \f(1,4)(－2)， 根据对称性设0， 令＝3，得y＝5，yN＝－eq \f(1,4)， 即(3,5)，Neq \b\l\(\r\)(\a\vs4\al\1(3，－\f(1,4)))， 则|N|＝5＋eq \f(1,4) 设△PN与△PAB的外接圆的半径分别为r1，r2， 由正弦定理得2r1＝eq \f(|N|,sin∠PN)， 2r2＝eq \f(|AB|,sin∠APB)， ∵∠PN＋∠APB＝180°， ∴sin∠PN＝sin∠APB， ∴eq \f(l1,l2)＝eq \f(2πr1,2πr2)＝eq \f(r1,r2)＝eq \f(|N|,|AB|)＝eq \f(5＋\f(1,4),4) ≥eq \f(2\r(5·\f(1,4)),4)＝eq \f(\r(5),4)， 当且仅当5＝eq \f(1,4)，即＝eq \f(\r(5),10)时，等号成立， 即eq \f(l1,l2)的最小值为eq \f(\r(5),4) 思维升华　高考对圆锥曲线的考查，经常出现一些与其他知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等，这些问题的实质是圆锥曲线问题． 跟踪训练1　(1)(2022·深圳模拟)F1，F2分别为双曲线：2－eq \f(y2,2)＝1的左、右焦点，过F1的直线l与的左、右两支曲线分别交于A，B两点，若l⊥F2B，则eq \(F2A,\s\up6(—→))·eq \(F2B,\s\up6(—→))等于(　　) A．4－2eq \r(3) B．4＋eq \r(3) ．6－2eq \r(5) D．6＋2eq \r(5) 答案　 解析　在双曲线中，a＝1，b＝eq \r(2)，＝eq \r(3)， 则F1(－eq \r(3)，0)，F2(eq \r(3)，0)， 因为直线l过点F1，由图知，直线l的斜率存在